Bài 1. Hàm lượng giác

 Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 4:

a) Sử dụng máy tính bỏ túi, hãy tính sinx, cosx với x là các số sau:

$\frac{\pi }{6}$; $\frac{\pi }{4}$; 1,5; 2; 3,1; 4,25; 5.

b) Trên đường tròn lượng giác, với điểm gốc A, hãy xác định các điểm M mà số đo của cung $\stackrel{\curvearrowright }{AM}$ bằng x (rad) tương ứng đã cho ở trên và xác định sinx, cosx (lấy π ≈ 3,14)

Lời giải:

a) Với x = $\frac{\pi }{6}$ thì sin$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{1}{2}$; cos$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

Với x = $\frac{\pi }{4}$ sin$\frac{\pi }{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos$\frac{\pi }{4}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

Với x = 1,5 thì sin 1,5 = 0,9975 và cos 1,5 = 0,0707;

Với x = 2 thì sin 2 = 0,9093 và cos 2 = −0,4161;

Với x = 3,1 thì sin 3,1 = 0,0416 và cos 3,1 = −0,9991;

Với x = 4,25 thì sin 4,25 = −0,8950 và cos 4,25 = −0,4461;

Với x = 5 thì sin 5 = −0,9589 và cos 5 = 0,2837;

b)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 6: Hãy so sánh các giá trị sinx và sin(-x), cosx và cos(-x).

Lời giải:

sin⁡ x = -sin⁡(-x)

cos⁡x = cos⁡(-x)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 1 trang 6: Tìm những số T sao cho f(x + T) với mọi x thuộc tập xác định của hàm số sau:

a) f(x) = sinx;

b) f(x) = tanx.

Lời giải:

a) T = k2π (k ∈ Z)

b) T = kπ (k ∈ Z)

GIẢI BÀI TẬP SGK 

Bài 1 (trang 17 SGK Đại số 11): Hãy xác định giá trị của x trên đoạn [-π ; $\frac{\mathrm{3\pi }}{2}$] để hàm số y = tan x:

a. Nhận giá trị bằng 0;

b. Nhận giá trị bằng 1;

c. Nhận giá trị dương;

d. Nhận giá trị âm.

Lời giải:

a) Hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0.

Suy ra: tan x = 0 => x = kπ, (k ∈ ℤ)

Vì x ∈ [-π ; $\frac{\mathrm{3\pi }}{2}$] chọn k ∈ {-1; 0; 1}

Với k = -1 => x = -π => tan(-π) = 0 (thỏa mãn)

Với k = 0 => x = 0 => tan0 = 0 (thỏa mãn)

Với k = 1 => x = π => tan(π) = 0 (thỏa mãn)

Vậy x ∈ {-π; 0; π} thì hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 0 trên [-π ; $\frac{\mathrm{3\pi }}{2}$].

b) Hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 1

Suy ra: tan x = 1 => x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, (k ∈ ℤ)

Vì x ∈ [-π ; $\frac{\mathrm{3\pi }}{2}$] chọn k ∈ {-1; 0; 1}

Với k = -1 => x = $\frac{-3\pi }{4}$ => tan$\frac{-3\pi }{4}$ = 1 (thỏa mãn)

Với k = 0 => x = $\frac{\pi }{4}$ => tan$\frac{\pi }{4}$ = 1 (thỏa mãn)

Với k = 1 => x = $\frac{\mathrm{5\pi }}{4}$ => tan$\frac{\mathrm{5\pi }}{4}$ = 1 (thỏa mãn)

Vậy x ∈ $\left\{\frac{-3\pi }{4};\frac{\pi }{4};\frac{5\pi }{4}\right\}$ thì hàm số y = tan x nhận giá trị bằng 1 trên [-π ; $\frac{\mathrm{3\pi }}{2}$].

c) Dựa vào đồ thị

tan x > 0 khi x ∈ $\left(-\pi ;\frac{-\pi }{2}\right)\cup \left(0;\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$

d) Dựa vào đồ thị

Ta thấy tan x < 0 khi x ∈ $\left(\frac{-\pi }{2};0\right)\cup \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$

Bài 2 (trang 17 SGK Đại số 11): Tìm tập xác định của hàm số:

Lời giải.

Bài 3 (trang 17 SGK Đại số 11): Dựa vào đồ thị của hàm số y = sin x, vẽ đồ thị của hàm số y = | sin x|

Lời giải:

+ Đồ thị hàm số y = sin x.

+ Ta có:

Vậy từ đồ thị hàm số y = sin x ta có thể suy ra đồ thị hàm số y = |sin x| bằng cách:

- Giữ nguyên phần đồ thị nằm phía trên trục hoành (sin x > 0).

- Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành.

Ta được đồ thị hàm số y = |sin x| là phần nét liền hình phía dưới.

Bài 4 (trang 17 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng sin2(x + kπ) = sin2x với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

Lời giải:

Hàm y = sinx là hàm tuần hoàn với chu kì  nên ta có: 

sin2(x + kπ) = sin(2x + k2π) = sin2x ∀ k ∈ Z

Ta có: f(x) = sin2x

=> f(x + π) = sin2(x + π) = sin(2x + 2π) = sin2x = f(x)

Do đó hàm số y = sin2x tuần là hàm tuần hoàn với chu kì π.

Xét hàm số y = sin2x trên đoạn [0; π].

Ta lấy các điểm đặc biệt như sau:

x	0	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{3\pi }{4}$	π
y = sin 2x	0	1	0	-1	0

Từ đó ta có đồ thị hàm số y = sin2x trên đoạn [0; π], ta tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài π ta được đồ thị hàm số y = sin2x trên R.

Đồ thị hàm số y = sin 2x.

Bài 5 (trang 18 SGK Đại số 11): Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cos x = $\frac{1}{2}$.

Lời giải:

+ Vẽ đồ thị hàm số y = cos x.

+ Vẽ đường thẳng y=1/2

+ Xác định hoành độ các giao điểm.

Bài 6 (trang 18 SGK Đại số 11): Dựa trên đồ thị hàm số y = sin x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = sin x:

Dựa vào đồ thị hàm số y = sin x ta thấy

y = sin x > 0

⇔ x ∈ (-2π; -π) ∪ (0; π) ∪ (2π; 3π) ∪…

hay x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ Z.

Bài 7 (trang 18 SGK Đại số 11): Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Lời giải:

Đồ thị hàm số y = cos x:

Bài 8 (trang 18 SGK Đại số 11): Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: