Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 10 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

Câu 1: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=8\sin x+6\cos x$ là

A. 8                            B. 6

C. 10                           D. 14

Câu 2: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}$ là

A. $R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \right\},k\in Z$

B. $R\setminus \left\{k2\pi \right\},k\in Z$

C. $R\setminus \left\{k\frac{\pi }{2}\right\},k\in Z$

D. $R\setminus \left\{k\pi \right\},k\in Z$

Câu 3: Số nghiệm trong khoảng $\left(-\pi ;5\pi \right)$ của phương trình $\left(\sin x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cos x=0$ là

A. 6                            B. 8

C. 10                           D. 12

Câu 4 : Tập giá trị của hàm số $y=3\sin x+4\cos x+1$ là

A. [-2;6]                      B. [-4;4]

C. [-4;6]                      D. [-1;6]

Câu 5 : Cho $x\in [0;\pi ]$, biểu thức rút gọn của $\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos x}}$ là:

A. $2\cos \frac{x}{4}$

B. $2sin\frac{x}{4}$

C. -$2sin\frac{x}{4}$

D. $-2\cos \frac{x}{4}$

Câu 6: Tập xác định của hàm số $y=\sin \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ là:

A. $\left(-\infty ;1\right)$           B. $(-1;1]$

C. $[-1;1)$               D. $(-\infty ;-1)$

Câu 7: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm:

A. $3\sin x+1=0$

B. $\cos x=\frac{\pi }{3}$

C. $2\sin x=\frac{3}{2}$

D. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=1$

Câu 8: Phương trình $2{\sin }^{2}x+m\sin 2x=2m$ vô nghiệm khi:

A. $m\in \left[0;\frac{4}{3}\right]$

B. $m\le 0;m\ge \frac{4}{3}$

C. $0<m<\frac{4}{3}$

D. $m<0;m>\frac{4}{3}$

Câu 9: Nghiệm của phương trình ${\cos }^{2}x-\cos x=0,0<x<\pi$ là:

A. $\frac{-\pi }{2}$

B. $\frac{\pi }{4}$

C. $\frac{\pi }{6}$

D. $\frac{\pi }{2}$

Câu 10: Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : $\sin x+\sin 2x=\cos x+2{\cos }^{2}x$ là:

A. $\frac{\pi }{6}$

B. $\frac{\pi }{4}$

C. $\frac{2\pi }{3}$

D. $\frac{\pi }{3}$

Lời giải chi tiết

1C	2C	3D	4C	5A
6C	7B	8D	9A	10B

Câu 1:

Ta có $-\sqrt{8^2+6^2}\le 8\sin x+6\cos x\le \sqrt{8^2+6^2}$

$\Rightarrow -10\le y\le 10$

Chọn C.

Câu 2:

ĐK:$\{\begin{array}{c}\sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}\iff \sin 2x\ne 0\iff 2x\ne k\pi \iff x\ne \frac{k\pi }{2}$

Chọn C

Câu 3:

$\begin{array}{c}\left(\sin x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cos x=0\\ \iff [\begin{array}{c}\sin x+\frac{1}{\sqrt{3}}=0\\ \cos x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\sin x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ \cos x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\end{array}$

Với $x=\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+k2\pi$ thì:

$\begin{array}{c}-\pi <\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+k2\pi <5\pi \\ \iff -0,4<k<2,59\\ \Rightarrow k\in \left\{0;1;2\right\}\end{array}$

Với $x=\pi -\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+k2\pi$ thì:

$\begin{array}{c}-\pi <\pi -\arcsin \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+k2\pi <5\pi \\ \iff -1,1<k<1,9\\ \Rightarrow k\in \left\{-1;0;1\right\}\end{array}$

Với $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$ thì:

$\begin{array}{c}-\pi <\frac{\pi }{2}+k\pi <5\pi \\ \iff -\frac{3}{2}<k<\frac{9}{2}\\ \Rightarrow k\in \left\{-1;0;1;2;3;4\right\}\end{array}$

Vậy có tất cả 3+3+6=12 nghiệm thỏa mãn.

Chọn D.

Câu 4:

$-\sqrt{3^2+4^2}\le 3\sin x+4\cos x\le \sqrt{3^2+4^2}$ $\Rightarrow -5\le 3\sin x+4\cos x\le 5$ $\iff -4\le 3\sin x+4\cos x+1\le 6$

Chọn C.

Câu 5:

$\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos x}}$$=\sqrt{2+\sqrt{2+2\left(2{\cos }^2\frac{x}{2}-1\right)}}$$=\sqrt{2+\sqrt{4{\cos }^2\frac{x}{2}}}$$=\sqrt{2+2\left|\cos \frac{x}{2}\right|}$

Vì $x\in \left[0;\pi \right]$ nên $\frac{x}{2}\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ $\Rightarrow \cos \frac{x}{2}\ge 0$.

Do đó

$\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos x}}$$=\sqrt{2+2\cos \frac{x}{2}}$$=\sqrt{2+2\left(2{\cos }^2\frac{x}{4}-1\right)}$ $=\sqrt{4{\cos }^2\frac{x}{4}}$ $=\left|2\cos \frac{x}{4}\right|=2\cos \frac{x}{4}$

(vì $x\in \left[0;\pi \right]$ nên $\frac{x}{4}\in \left[0;\frac{\pi }{4}\right]$ $\Rightarrow \cos \frac{x}{4}>0$)

Chọn A

Câu 6:

ĐK: $\{\begin{array}{c}\frac{1+x}{1-x}\ge 0\\ 1-x\ne 0\end{array}\iff x\in [-1;1)$

Chọn C.

Câu 7:

Do $\left|\frac{\pi }{3}\right|>1\Rightarrow \cos x=\frac{\pi }{3}$ vô nghiệm.

Chọn B

Câu 8:

$2{\sin }^{2}x+m\sin 2x=2m$ $\iff 2.\frac{1-\cos 2x}{2}+m\sin 2x=2m$ $\iff m\sin 2x-\cos 2x=2m-1\left(1\right)$

Để phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) vô nghiệm

$\iff m^2+1<{\left(2m-1\right)}^2$ $\iff m^2+1<4m^2-4m+1$ $\iff 3m^3-4m>0$ $\iff [\begin{array}{c}m<0\\ m>\frac{4}{3}\end{array}$

Chọn D.

Câu 9:

${\cos }^{2}x-\cos x=0\iff [\begin{array}{c}\cos x=0\\ \cos x=1\end{array}$$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k2\pi \end{array}$

Do $x\in (0;\pi )$ nên $x=\frac{\pi }{2}$

Chọn D.

Câu 10:

$\begin{array}{c}\sin x+\sin 2x=\cos x+2{\cos }^{2}x\\ \iff \sin x+2\sin x\cos x=\cos x+2{\cos }^{2}x\\ \iff \sin x\left(1+2\cos x\right)=\cos x\left(1+2\cos x\right)\\ \iff \sin x\left(1+2\cos x\right)-\cos x\left(1+2\cos x\right)=0\\ \iff \left(1+2\cos x\right)\left(\sin x-\cos x\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}1+2\cos x=0\\ \sin x-\cos x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \sin x=\cos x\end{array}\iff [\begin{array}{c}\cos x=-\frac{1}{2}\\ \tan x=1\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\end{array}$

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ là $x=\frac{2\pi }{3}$.

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ là $x=\frac{4\pi }{3}$.

Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$ là $x=\frac{\pi }{4}$.

So sánh ba nghiệm trên ta thấy nghiệm nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{4}$.