Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 4 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\cos (2x+{30}^0)=\frac{1}{2}$

c) ${\cos }^{2}x-3\sin x=1$

d) $\sin 3x+4\cos 2x-\sin x=0$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

$y=6\sin 2x-8\cos 2x-2$

Lời giải chi tiết

Bài 1:

$a)\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{3}$

$\iff [\begin{array}{c}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\pi +k2\pi ,x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi (k\in Z)$

$b)\cos \left(2x+{30}^0\right)=\frac{1}{2}$

$\iff \cos (2x+{30}^0)=\cos {60}^0$

$\iff [\begin{array}{c}2x+{30}^0={60}^0+k{360}^0\\ 2x+{30}^0=-{60}^0+k{360}^0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x={15}^0+k{180}^0\\ x=-{45}^0+k{180}^0\end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={15}^0+k{180}^0$, $x=-{45}^0+k{180}^0(k\in Z)$

$\begin{array}{c}c){\cos }^{2}x-3\sin x=1\\ \iff 1-{\sin }^{2}x-3\sin x=1\\ \iff {\sin }^{2}x+3\sin x=0\\ \iff \sin x(\sin x+3)=0\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\sin x=0\\ \sin x=-3\end{array}\iff \sin x=0$

($\sin x=-3$ vô nghiệm vì $-1\le \sin x\le 1$ )

$\iff x=k\pi (k\in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=k\pi (k\in Z)$

$d)\sin 3x+4\cos 2x-\sin x=0$

$\iff 3\sin x-4{\sin }^{3}x+4(1-2{\sin }^{2}x)-\sin x=0$

$\iff 2{\sin }^{3}x+4{\sin }^{2}x-\sin x-2=0\left(1\right)$

Đặt $\sin x=t(\left|t\right|\le 1)$

Khi đó phương trình (1) trở thành $2t^3+4t^2-t-2=0$

$\iff (t+2)(2t^2-1)=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-2\left(KTM\right)\\ t=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left(TM\right)\end{array}$

Với $t=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Với $t=-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\iff \sin x=\sin (-\frac{\pi }{4})$

$\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$; $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi$; $x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

Bài 2:

$\begin{array}{c}y=6\sin 2x-8\cos 2x-2\\ =10(\frac{3}{5}\sin 2x-\frac{4}{5}\cos 2x)-2\end{array}$

Đặt $\cos \alpha =\frac{3}{5};\sin \alpha =\frac{4}{5}$

Khi đó

$\begin{array}{c}y=10(\cos \alpha \sin 2x-\sin \alpha \cos 2x)-2\\ =10\sin (2x-\alpha )-2\end{array}$

Ta có: $-1\le \sin (2x-\alpha )\le 1$

$\iff -10\le 10\sin (2x-\alpha )\le 10$

$\iff -12\le y\le 8(\forall x\in R)$

Vậy $miny=-12$ khi $\sin (2x-\alpha )=-1$

$\iff 2x-\alpha =\frac{-\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{-\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}+k\pi (k\in Z)$

$maxy=8$ khi $\sin (2x-\alpha )=1$

$\iff 2x-\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}+k\pi (k\in Z)$