Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 7 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) $2{\sin }^{2}x+5\cos x+1=0$

b) ${\tan }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\tan x-\sqrt{3}=0$

c) ${\sin }^{2}x=\frac{1}{2}$

d) $\cos 2x-3\cos x=4{\cos }^2\frac{x}{2}$

Câu 2:

a) Giải phương trình sau: $\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}$

b) Tìm m để phương trình : $m\cos x+(m+2)\sin x=2$ có nghiệm.

Lời giải chi tiết

Câu 1:

$a)2{\sin }^{2}x+5\cos x+1=0$

$\iff 2(1-{\cos }^{2}x)+5\cos x+1=0$

$\begin{array}{c}\iff 2-2{\cos }^{2}x+5\cos x+1=0\\ \iff -2{\cos }^{2}x+5\cos x+3=0\end{array}$

$\iff 2{\cos }^{2}x-5\cos x-3=0$

Đặt: $t=\cos x(-1\le t\le 1)$

Khi đó phương trình trở thành: $2t^2-5t-3=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=3\left(ktm\right)\\ t=-\frac{1}{2}\left(tm\right)\end{array}$

Với $t=-\frac{1}{2}\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}$

$\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}=k2\pi$

$b){\tan }^{2}x+\left(1-\sqrt{3}\right)\tan x-\sqrt{3}=0(1)$

ĐK: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$

$\left(1\right)\iff [\begin{array}{c}\tan x=\sqrt{3}\\ \tan x=-1\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\tan x=\tan \frac{\pi }{3}\\ \tan x=\tan \left(\frac{-\pi }{4}\right)\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(TM\right)\\ x=\frac{-\pi }{4}+k\pi \left(KTM\right)\end{array}(k\in Z)$

$c){\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\iff [\begin{array}{c}\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1\right)\\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff \sin x=\sin \frac{\pi }{4}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in Z)\\ \left(2\right)\iff \sin x=\sin (-\frac{\pi }{4})\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{-\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{4}+k2\pi \end{array}(k\in Z)\end{array}$

Cách khác:

$\begin{array}{c}{\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1}{2}\\ \iff 1-\cos 2x=1\iff \cos 2x=0\\ \iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\end{array}$

$d)\cos 2x-3\cos x=4{\cos }^2\frac{x}{2}$

$\iff 2{\cos }^{2}x-1-3\cos x=4.\frac{1+\cos x}{2}$

$\iff 2{\cos }^{2}x-3\cos x-1=2+2\cos x$

$\iff 2{\cos }^{2}x-5\cos x-3=0$

Đặt: $t=\cos x(-1\le t\le 1)$ khi đó phương trình trở thành: $2t^2-5t-3=0\iff [\begin{array}{c}t=3\left(ktm\right)\\ t=-\frac{1}{2}\left(tm\right)\end{array}$

Với $t=-\frac{1}{2}\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}$

$\iff \cos x=\cos \frac{2\pi }{3}\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}=k2\pi$

Câu 2:

$\begin{array}{c}a)\cos x+\sqrt{3}\sin x=\sqrt{2}\\ \iff \frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \sin \frac{\pi }{6}\cos x+\cos \frac{\pi }{6}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \sin (\frac{\pi }{6}+x)=\sin \frac{\pi }{4}\\ \iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \end{array}(k\in Z)\end{array}$

$b)m\cos x+(m+2)\sin x=2(1)$

Để PT(1) có nghiệm $\iff m^2+(m+2{)}^2\ge 2^2$

$\iff m^2+m^2+4m+4\ge 4$

$\iff 2m^2+4m\ge 0$

$\iff [\begin{array}{c}m\ge 0\\ m\le -2\end{array}$

Vậy với $m\in \left(-\infty ;-2\right]\cup \left[0;+\infty \right)$ thì phương trình có nghiệm.