Đề kiểm tra 15 phút – Chương 1 – Đề số 9 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) $2\cos (2x-\frac{\pi }{5})=1$

b) $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$

c) $\sin 3x+\sin 5x=0$

d) $3\tan 4x-2\cot 4x+1=0$

Bài 2: Tìm $x\in [0;14]$ nghiệm đúng phương trình:

$\cos 3x-4\cos 2x+3\cos x-4=0$

Lời giải chi tiết

Bài 1:

$\begin{array}{c}a\left)2\cos \right(2x-\frac{\pi }{5})=1\\ \iff \cos (2x-\frac{\pi }{5})=\frac{1}{2}\\ \iff \cos (2x-\frac{\pi }{5})=\cos \frac{\pi }{3}\\ \iff [\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{5}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{5}=\frac{-\pi }{3}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{4\pi }{15}+k\pi \\ x=\frac{-\pi }{15}+k\pi \end{array}\end{array}$

$b)\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\iff [\begin{array}{c}2x+\frac{\pi }{6}=x-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{6}=\pi -x+\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}$

$\begin{array}{c}c)\sin 3x+\sin 5x=0\\ \iff \sin 5x=-\sin 3x\\ \iff \sin 5x=\sin (-3x)\\ \iff [\begin{array}{c}5x=-3x+k2\pi \\ 5x=\pi +3x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=k\frac{\pi }{4}\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}\end{array}$

$d)3\tan 4x-2\cot 4x+1=0(1)$

ĐK: $\{\begin{array}{c}\sin 4x\ne 0\\ \cos 4x\ne 0\end{array}$

$\iff \sin 8x\ne 0\iff x\ne k\frac{\pi }{8}$

Đặt $\tan 4x=t(t\ne 0)\Rightarrow \cot 4x=\frac{1}{t}$

Khi đó (1) trở thành: $3t-\frac{2}{t}+1=0$

$\iff 3t^2+t-2=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=-1\left(TM\right)\\ t=\frac{2}{3}\left(TM\right)\end{array}$

Với $t=-1\Rightarrow \tan 4x=-1$

$\iff \tan 4x=\tan \left(\frac{-\pi }{4}\right)$

$\iff 4x=\frac{-\pi }{4}+k\pi$

$\iff x=\frac{-\pi }{16}+k\frac{\pi }{4}\left(TM\right)$

Với $t=\frac{2}{3}\Rightarrow \tan 4x=\frac{2}{3}$

$\iff x=\frac{1}{4}\arctan \frac{2}{3}+k\frac{\pi }{4}\left(TM\right)$

Bài 2:

$\begin{array}{c}\cos 3x-4\cos 2x+3\cos x-4=0\\ \iff 4{\cos }^{3}x-3\cos x-4(2{\cos }^{2}x-1)+3\cos x-4=0\\ \iff 4{\cos }^{3}x-3\cos x-8{\cos }^{2}x+4+3\cos x-4=0\\ \iff 4{\cos }^{3}x-8{\cos }^{2}x=0\\ \iff {\cos }^{3}x-2\cos {}^{2}x=0\left(1\right)\end{array}$

Đặt $\cos x=t(\left|t\right|\le 1)$

Khi đó (1) trở thành $t^3-2t^2=0$

$\iff [\begin{array}{c}t=0\left(TM\right)\\ t=2\left(KTM\right)\end{array}$

Với $t=0\Rightarrow \cos x=0$

$\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in Z)$

Mà $x\in [0;14]\Rightarrow 0\le \frac{\pi }{2}+k\pi \le 14$$\iff \frac{-1}{2}\le k\le \frac{14}{\pi }-\frac{1}{2}$

Do $k\in Z\Rightarrow k\in \left\{0;1;2;3\right\}$

Vậy $x=\frac{\pi }{2};x=\frac{3\pi }{2};x=\frac{5\pi }{2};x=\frac{7\pi }{2}$