Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đề số 1 – Đại số và giải tích 11

Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Với những giá trị nào của $x$ thì giá trị của các hàm số tương ứng sau bằng nhau $y=\tan 3x$ và $\tan (\frac{\pi }{3}-2x)$

A. $x=\frac{\pi }{15}+k\frac{\pi }{5},k\in Z$

B.  $x=\frac{\pi }{15}+k\pi ,k\in Z$

C. $x=\frac{\pi }{15}+k\frac{\pi }{2},k\in Z$

D. $x=\frac{\pi }{5}+k\frac{\pi }{5},k\in Z$

Câu 2: Tìm m để phương trình $\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}=m$ có nghiệm.

A. $-3\le m\le 2$              B. $m>2$

C. $m\ge -3$                     D. $\frac{2}{11}\le m\le 2$

Câu 3: Nghiệm của phương trình  $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}$ là:

A. $x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi ,x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi ,\left(k\in Z\right).$

B. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in Z\right).$

C. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ,x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,\left(k\in Z\right).$

D. $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi ,x=-\frac{5\pi }{4}+k2\pi ,\left(k\in Z\right).$

Câu 4 : Chọn mệnh đề đúng:

A. Hàm số $y=\sin x$ có chu kỳ $T=\pi$

B. Hàm số $y=\cos x$ và hàm số $y=\tan x$ có cùng chu kỳ.

C. Hàm số $y=\cot x$ và hàm số $y=\tan x$ có cùng chu kỳ.

D. Hàm số $y=\cot x$ có chu kỳ $T=2\pi$

Câu 5: Nghiệm dương bé nhất của phương trình $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$  là:

A. $x=\frac{\pi }{3}.$     B. $x=\frac{\pi }{12}.$

C. $x=\frac{\pi }{6}.$     D. $x=\frac{5\pi }{6}.$

Câu 6: Hàm số nào sau đây có đồ thị không là đường hình sin?

A. $y=\sin x$                        B. $y=\cos x$

C. $y=\sin 2x$                      D. $y=\cot x$

Câu 7: Tập xác định của hàm số$y=f\left(x\right)=2\cot (2x-\frac{\pi }{3})+1$ là:

A. $R\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,k\in Z\right\}$   

B. $R\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2},k\in Z\right\}$

C. $R\setminus \left\{\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z\right\}$     

D. $R\setminus \left\{\frac{5\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in Z\right\}$

Câu 8: Nghiệm của phương trình $\tan (x-\frac{\pi }{2})=\sqrt{3}$ là:

A. $x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$.                            

B. $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$.                          

C. $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$.                               

D. $x=\frac{\pi }{6}+k\pi$.

Câu 9: Tập nghiệm của phương trình $\cos 3x=-1$ là:

A. $\left\{-\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in Z\right\}.$ 

B. $\left\{\pi +k2\pi |k\in Z\right\}.$

C. $\left\{\frac{\pi }{3}+\frac{k2\pi }{3}|k\in Z\right\}.$       

D. $\left\{\frac{k2\pi }{3}|k\in Z\right\}.$

Câu 10: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn.

A. $y=\sin \left|2016x\right|+cos2017x$.    

B. $y=2016\cos x+2017\sin x$.

C. $y=\cot 2015x-2016\sin x$. 

D. $y=\tan 2016x+\cot 2017x$.

Câu 11: Nghiệm của phương trình $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ là:

A.$x=\frac{\pi }{8}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{8}+k2\pi (k\in Z)$

B. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi (k\in Z)$

C.   $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=\frac{3\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

D. $x=\frac{\pi }{8}+k\pi ;x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ;k\in Z)$

Câu 12: Giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y=3\sin x+1$ là.

A. m = 4                               B. m = -2 

C. m = 3                               D. m = 1

Câu 13: Tập xác định của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{1-sinx}}$

A. $R\setminus \left\{k\pi ,k\in Z\right\}$        

B. $R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in Z\right\}$                 

C. $R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in Z\right\}$               

D. $\varphi$

Câu 14: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\sin }^{2}x-4\sin x-5$ là:

A. -9                                     B. 0

C. 9                                      D. -8

Câu 15: Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. $y=\sin x-\cos x$.

B. $y=2\sin x$.

C. $y=2\sin \left(-x\right)$.

D. $y=-2\cos x$

Câu 16: Nghiệm của phương trình $2{\sin }^{2}x+\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0$ là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$; $x=\arctan (-\frac{3}{2})+k\pi ,k\in Z$

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in Z$

C. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$;$x=\arctan (-3)+k\pi ,k\in Z$

D. $x=\arctan (-\frac{3}{2})+k\pi ,k\in Z$

Câu 17: Phương trình lượng giác nào dưới đây có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{6}+k\pi ,k\in Z.$

A. $\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$                          

B. $\cot x=\sqrt{3}.$    

C. $\tan x=\sqrt{3}.$     

D. $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$

Câu 18: Giá trị lớn nhất M của hàm số $y=\sin x+\cos x$ là.

A. $M=2$                         

B. $M=2\sqrt{2}$             

C. $M=1$                         

D. $M=\sqrt{2}$

Câu 19: Nghiệm của phương trình $\sin x=\cos x$ là:

A. $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$.                               

B. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$.                                 

C. $x=\frac{\pi }{4}$.    

D. $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.

Câu 20: Đồ thì hình bên là đồ thị của hàm số nào?

A. $y=\sin x$                     B. $y=\cot x$    

C. $y=\tan x$                    D. $y=\cos x$           

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21: Giải các phương trình sau

a) $\sin 3x-\cos 2x=0$                                             

b) $\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{\sin x-\cos \frac{\pi }{4}}=0$

Câu 22: Giải phương trình :   $2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-2x\right)+\sqrt{3}\cos 4x=4{\cos }^{2}x-1$

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1A	2D	3A	4C	5C
6D	7B	8A	9C	10A
11D	12B	13C	14D	15D
16A	17B	18D	19B	20D

Câu 1:

Ta có: $\tan 3x=\tan (\frac{\pi }{3}-2x)$$\iff 3x=\frac{\pi }{3}-2x+k\pi \left(k\in Z\right)$

$\iff 5x=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in Z\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{15}+k\frac{\pi }{5}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Ta có: $\frac{\cos x+2\sin x+3}{2\cos x-\sin x+4}=m$

$\iff \cos x+2\sin x+3=m\left(2\cos x-\sin x+4\right)$

$\iff \left(2m-1\right)\cos x-\left(m+2\right)\sin x=3-4m$

Điều kiện có nghiệm: ${\left(2m-1\right)}^2+{\left(m+2\right)}^2\ge {\left(3-4m\right)}^2$

$\iff 4m^2-4m+1+m^2+4m+4$$\ge 9-24m+16m^2$

$\iff 11m^2-24m+4\le 0$$\iff \frac{2}{11}\le m\le 2.$

Chọn đáp án D.

Câu 3:

Ta có:$\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2}$

$\begin{array}{c}\iff \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \cos \frac{\pi }{3}\sin x+\sin \frac{\pi }{3}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$$\iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{3}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

$\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 4:

+ Hàm số $y=\sin x,y=\cos x$ có chu kỳ là $T=2\pi$

+ Hàm số $y=\tan x,y=\cot x$ có chu kì là $T=\pi$

Chọn đáp án C.

Câu 5:

Ta có: $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$$\iff \left(2\sin x-1\right)\left(\sin x+3\right)=0$

$\iff \sin x=\frac{1}{2}$$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Nghiệm dương bé nhất của phương trình là $x=\frac{\pi }{6}.$

Chọn đáp án C.

Câu 6:

Hàm số $y=\cot x$ có đồ thị không là đường hình sin.

Chọn đáp án D.

Câu 7:

$y=f\left(x\right)=2\cot (2x-\frac{\pi }{3})+1$$=\frac{2\cos (2x-\frac{\pi }{3})}{\sin (2x-\frac{\pi }{3})}+1$

ĐKXĐ: $\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\ne 0$

$\iff \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\ne k\pi \left(k\in Z\right)$

$\iff x\ne \frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2}\left(k\in Z\right)$
Chọn đáp án B.

Câu 8:

Ta có: $\tan (x-\frac{\pi }{2})=\sqrt{3}$

$\iff \tan (x-\frac{\pi }{2})=\tan \frac{\pi }{3}$

$\iff x-\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{3}+k\pi \left(k\in Z\right)$

$\iff x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Ta có: $\cos 3x=-1\iff 3x=\pi +k2\pi \left(k\in Z\right)$

$\iff x=\frac{\pi }{3}+k\frac{2\pi }{3}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 10:

Đáp án A: TXĐ: D=R.

Ta có: 

$\begin{array}{c}y\left(-x\right)=\sin \left|-2016x\right|+\cos \left(-2017x\right)\\ =\sin 2016x+\cos 2017x=y\left(x\right)\end{array}$

Hàm số $y=\sin \left|2016x\right|+cos2017x$ là hàm số chẵn.

Chọn đáp án A.

Câu 11:

Ta có: $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \sin 2x=\sin \frac{\pi }{4}$

$\iff [\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{8}+k\pi \\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án D.

Câu 12:

Ta có: $\sin x\in \left[-1;1\right]$

$\begin{array}{c}\Rightarrow -1\le \sin x\le 1\\ \Rightarrow -3\le 3\sin x\le 3\\ \Rightarrow -2\le 3\sin x+1\le 4\end{array}$

Chọn đáp án B.

Câu 13:

Ta có: $\sin x\in \left[-1;1\right]\Rightarrow 1-\sin x\in \left[0;2\right]$

Điều kiện xác định: $1-\sin x\ne 0\iff \sin x\ne 1$

$\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 14:

Ta có: $y={\sin }^{2}x-4\sin x-5$$=\left({\sin }^{2}x-4\sin x+4\right)-9$$={\left(\sin x-2\right)}^2-9$

+ $\sin x\in \left[-1;1\right]\Rightarrow \sin x-2\in \left[-3;-1\right]$

$\iff {\left(\sin x-2\right)}^2\in \left[1;9\right]$

Khi đó $y\ge 1-9=-8$

Chọn đáp án D.

Câu 15:

Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, do đó ta kiểm tra hàm số chẵn ở mỗi đáp án.

Dễ thấy hàm số $y=-2\cos x$ là hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng.

Chọn đáp án D.

Câu 16:

Ta có: $2{\sin }^{2}x+\sin x\cos x-3{\cos }^{2}x=0$

$\iff \left(\sin x-\cos x\right)\left(2\sin x+3\cos x\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\sin x=\cos x\\ 2\sin x=-3\cos x\end{array}\iff [\begin{array}{c}\tan x=1\\ \tan x=-\frac{3}{2}\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\arctan \left(-\frac{3}{2}\right)+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 17:

Ta có: $\cot x=\sqrt{3}\iff x=\frac{\pi }{6}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án B.

Câu 18:

Ta có: $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

$\begin{array}{c}-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1\\ \Rightarrow -\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}\end{array}$

$\Rightarrow y\in \left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Chọn đáp án D.

Câu 19:

Ta có: $\sin x=\cos x\iff \tan x=1$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án B.

Câu 20:

Đồ thị hình bên là của hàm số $y=\cos x$

Chọn đáp án D.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21:

$a)\sin 3x-\cos 2x=0\iff \sin 3x=\cos 2x$$\iff \sin 3x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)$

$\begin{array}{c}\iff [\begin{array}{c}3x=\frac{\pi }{2}-2x+k2\pi \\ 3x=\pi -\frac{\pi }{2}+2x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}5x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5};x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$b)\frac{\sin x+\sqrt{3}\cos x}{\sin x-\cos \frac{\pi }{4}}=0(1)$

ĐK: $\sin x-\cos \frac{\pi }{4}\ne 0$

$\begin{array}{c}\iff \sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 0\iff \sin x\ne \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \iff \{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x\ne \frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}(\ast )\end{array}$

$\begin{array}{c}\left(1\right)\iff \sin x+\sqrt{3}\cos x=0\\ \iff \frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x=0\\ \iff \cos \frac{\pi }{3}\sin x+\sin \frac{\pi }{3}\cos x=0\\ \iff \sin (x+\frac{\pi }{3})=0\iff x+\frac{\pi }{3}=k\pi \\ \iff x=\frac{-\pi }{3}+k\pi \end{array}$

Kết hợp với điều kiện (*) ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm: $x=\frac{-\pi }{3}+k\pi$

Câu 22:

$2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-2x\right)+\sqrt{3}\cos 4x=4{\cos }^{2}x-1$

$\iff 1+\cos \left(\frac{\pi }{2}-4x\right)+\sqrt{3}\cos 4x=4{\cos }^{2}x-1$$\iff \sin 4x+\sqrt{3}\cos 4x=2\left(2{\cos }^{2}x-1\right)$

$\begin{array}{c}\iff \frac{1}{2}\sin 4x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 4x=\cos 2x\\ \iff \sin \frac{\pi }{6}\sin 4x+\cos \frac{\pi }{6}\cos 4x=\cos 2x\\ \iff \cos \left(4x-\frac{\pi }{6}\right)=\cos 2x\end{array}$

$\begin{array}{c}\iff [\begin{array}{c}4x-\frac{\pi }{6}=2x+k2\pi \\ 4x-\frac{\pi }{6}=-2x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 6x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{36}+k\frac{\pi }{3}\end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{12}+k\pi ;x=\frac{\pi }{36}+k\frac{\pi }{3}$