Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đề số 3 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Hàm số $y=\sin 3x.\cos x$ là một hàm số tuần hoàn có chu kì là

A. $\pi$                            B. $\frac{\pi }{4}$

C. $\frac{\pi }{3}$                           D. $\frac{\pi }{2}$

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số $y={\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x+1$

A. M = 2, m = -2          

B. M = 1,  m = 0

C. M = 4, m = -1                    

D. M = 2, m = -1

Câu 3: Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-\cos 2017x}$ là

A. $D=R\setminus \left\{k\pi |k\in Z\right\}$.   

B. $D=R$.                        

C. $D=R\setminus \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in Z\right\}$.

D.  $D=R\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k2\pi |k\in Z\right\}$.

Câu 4: Tìm chu kì T của hàm số $y=\cot 3x+\tan x$ là

A. $\pi$                                 B. $3\pi$

C. $\frac{\pi }{3}$                               D. $4\pi$

Câu 5: Cho hàm số $f\left(x\right)=\left|x\right|\sin x.$ Phát biểu nào sau đây là đúng về hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho có tập xác định $D=R\setminus \left\{0\right\}.$            

B. Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng.                           

C. Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng.                                 

D. Hàm số có tập giá trị là $\left[-1;1\right].$

Câu 6: Trong các phương trình sau đây,phương trình nào có tập nghiệm là $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$ và $x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,(k\in Z)$

A. $\sin x=\frac{2}{\sqrt{2}}$

B. $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\sin x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Câu 7: Phương trình $\tan \left(3x-{15}^0\right)=\sqrt{3}$ có các nghiệm là:

A. $x={60}^0+k{180}^0$

B. $x={75}^0+k{180}^0$

C. $x={75}^0+k{60}^0$

D. $x={25}^0+k{60}^0$

Câu 8: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình $\frac{\sqrt{3}}{{\sin }^{2}x}=3\cot +\sqrt{3}$ là:

A. $-\frac{\pi }{2}$                               B. $-\frac{5\pi }{6}$

C. $-\frac{\pi }{6}$                               D. $-\frac{2\pi }{3}$

Câu 9: Phương trình $sinx+cosx–1=2sinxcosx$ có bao nhiêu nghiệm trên $\left[0;2\pi \right]$ ?

A. 2.                       B. 3.

C. 4.                       D. 6.

Câu 10: Phương trình $\sin (x+{10}^0)=\frac{1}{2}(0^0<x<{180}^0)$ có nghiệm là:

A. $x={30}^0$ và $x={150}^0$

B. $x={20}^0$ và $x={140}^0$

C. $x={40}^0$ và $x={160}^0$

D. $x={30}^0$ và$x={140}^0$

Câu 11: Phương trình $\sin (5x+\frac{\pi }{2})=m-2$ có nghiệm khi:

A. $m\in \left[1;3\right]$

B. $m\in \left[-1;1\right]$

C. $m\in R$

D. $m\in (1;3)$

Câu 12: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình $\cos x=0$?

A. $sinx=1$

B. $sinx=-1$

C. $tanx=0$

D. $\cot x=0$

Câu 13: Phương trình $m\tan x-\sqrt{3}=0$ Có nghiệm khi

A. $m\ne 0$.

B. $m\in R$

C. $-1\le \frac{\sqrt{3}}{m}\le 1$

D. $-1<\frac{\sqrt{3}}{m}<1$

Câu 14: Phương trình $\sin x+m\cos x=\sqrt{10}$ có nghiệm khi:

A. $[\begin{array}{c}m\ge 3\\ m\le -3\end{array}$.

B. $[\begin{array}{c}m>3\\ m<-3\end{array}$.

C. $[\begin{array}{c}m\ge 3\\ m<-3\end{array}$.

D. $-3\le m\le 3$.

Câu 15: Phương trình $cos2x+\sin x=\sqrt{3}\left(\cos x-\sin 2x\right)$ có các nghiệm là:

A. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

B. $[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

C. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

D. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$.

Câu 16: Phương trình $\sin 5x.\cos 3x=\sin 7x.\cos 5x$ có tập nghiệm là:

A. $[\begin{array}{c}x=k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{20}+k\frac{\pi }{10}\end{array}\left(k\in Z\right)$.

B. $[\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{20}+k\frac{\pi }{10}\end{array}\left(k\in Z\right)$.

C. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{10}\\ x=\frac{\pi }{20}+k\frac{\pi }{10}\end{array}\left(k\in Z\right)$.

D. $[\begin{array}{c}x=k\frac{\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{20}+k\frac{\pi }{5}\end{array}\left(k\in Z\right)$.

Câu 17: Các giá trị của $m\in \left[a;b\right]$ để phương trình $\cos 2x+{\sin }^{2}x+3\cos x-m=5$ có nghiệm thì:

A. $a+b=2$.

B. $a+b=12$.

C. $a+b=-8$.

D. $a+b=8$.

Câu 18: Chọn mệnh đề đúng:

A. $\cos x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

B. $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

C. $\cos x\ne -1\iff x\ne -\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

D. $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Câu 19: Nghiệm của phương trình $\tan 4x.\cot 2x=1$ là:

A. $k\pi ,k\in Z$

B. $\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in Z$

C. $\frac{k\pi }{2},k\in Z$

D. Vô nghiệm

Câu 20: Nghiệm của phương trình $\cos 3x=\cos x$ là:

A. $k2\pi \left(k\in Z\right)$

B. $k2\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

C. $\frac{k\pi }{2}\left(k\in Z\right)$

D. $k\pi ;\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21: Giải các phương trình sau

$a)3{\sin }^{2}2x+7\cos 2x-3=0$

$b){\sin }^{2}2x+co{s}^{2}x=1$

Câu 22: Giải phương trình sau:

$\cos 2x+3\sin 2x+5\sin x-3\cos x=3$  

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1	2	3	4	5
A	D	B	A	B
6	7	8	9	10
C	D	A	C	B
11	12	13	14	15
A	D	A	A	A
16	17	18	19	20
A	C	B	D	C

Câu 1:

Ta có: $y=\sin 3x.\cos x=\frac{1}{2}\left(\sin 4x+\sin 2x\right)$

Hàm số $y=\sin 4x$ tuần hoàn với chu kì $T_1=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

Hàm số $y=\sin 2x$ tuần hoàn với chu kì $T_2=\frac{2\pi }{2}=\pi$

Vậy hàm số $y=\frac{1}{2}\left(\sin 4x+\sin 2x\right)$ tuần hoàn với chu kì $T=BCNN\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)=\pi$

Chọn đáp án A.

Câu 2:

Ta có: $y={\sin }^{4}x-2{\cos }^{2}x+1$ $={\sin }^{4}x-2\left(1-{\sin }^{2}x\right)+1$

$={\sin }^{4}x+2{\sin }^{2}x-1$ $={\left({\sin }^{2}x+1\right)}^2-2$

$\begin{array}{c}0\le {\sin }^{2}x\le 1\\ \Rightarrow 1\le {\sin }^{2}x+1\le 2\\ \Rightarrow 1\le {\left({\sin }^{2}x+1\right)}^2\le 4\\ \Rightarrow -1\le {\left({\sin }^{2}x+1\right)}^2-2\le 2\end{array}$

$\Rightarrow -1\le y\le 2$

Chọn đáp án D.

Câu 3:

Điều kiện xác định: $1-\cos 2017x\ge 0\iff \cos 2017x\le 1$ luôn đúng với mọi $x\in R$

Vậy TXĐ: D=R.

Chọn đáp án B.

Câu 4:

Chu kì của hàm số $y=\cot 3x+\tan x$ là $T=\pi$

Chọn đáp án A.

Câu 5:

Hàm số $y=\left|x\right|\sin x$ có:

$\begin{array}{c}y\left(-x\right)=\left|-x\right|\sin \left(-x\right)\\ =-\left|x\right|\sin x=-y\left(x\right)\end{array}$

Nên là hàm số lẻ.

Do đó đồ thị hàm số nhận gốc $O$ làm tâm đối xứng.

Chọn đáp án B.

Câu 6:

Ta có: $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 7:

Ta có: $\tan \left(3x-{15}^{\circ }\right)=\sqrt{3}$ $\iff \tan \left(3x-{15}^{\circ }\right)=\tan {60}^{\circ }$

$\iff 3x-{15}^{\circ }={60}^{\circ }+k{180}^{\circ }$

$\iff x={25}^{\circ }+k{60}^{\circ }\left(k\in Z\right)$

Chọn đán án D.

Câu 8:

Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\pm k\pi \left(k\in Z\right)$

Ta có: $\frac{\sqrt{3}}{{\sin }^{2}x}=3\cot x+\sqrt{3}$

$\begin{array}{c}\iff \sqrt{3}\left(1+{\cot }^{2}x\right)=3\cot x+\sqrt{3}\\ \iff \sqrt{3}{\cot }^{2}x-3\cot x=0\\ \iff \cot x\left(\sqrt{3}\cot x-3\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}\cot x=0\\ \cot x=\sqrt{3}\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{6}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Nghiệm âm lớn nhất là $-\frac{\pi }{2}$

Chọn đáp án A.

Câu 9:

Ta có: $\sin x+\cos x-1=2\sin x\cos x$

$\begin{array}{c}\iff \sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x\\ \iff \sin x+\cos x={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\\ \iff \sin x+\cos x={\left(\sin x+\cos x\right)}^2\end{array}$

$\iff \left(\sin x+\cos x\right)\left(1-\sin x-\cos x\right)=0$

$\begin{array}{c}\iff [\begin{array}{c}\sin x+\cos x=0\\ 1-\sin x-\cos x=0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\sin x=-\cos x\\ \sin x+\cos x=1\end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}\tan x=-1\\ \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Các nghiệm trên $\left[0;2\pi \right]$ là $\left\{\frac{3\pi }{4};0;2\pi ;\frac{\pi }{2}\right\}$

Chọn đáp án C.

Câu 10:

Ta có: $\sin (x+{10}^0)=\frac{1}{2}$ $\iff \sin (x+{10}^0)=\sin {30}^{\circ }$

$\iff [\begin{array}{c}x+{10}^{\circ }={30}^{\circ }+k{360}^{\circ }\\ x+{10}^{\circ }={150}^{\circ }+k{360}^{\circ }\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x={20}^{\circ }+k{360}^{\circ }\\ x={140}^{\circ }+k{360}^{\circ }\end{array}$

$0^0<x<{180}^0$ $\Rightarrow x_1={20}^0,x_2={140}^0$

Chọn đáp án B.

Câu 11:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m-2\le 1\iff m\in \left[1;3\right]$

Chọn đáp án A.

Câu 12:

Ta có: $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

$\cot x=0\iff \frac{\cos x}{\sin x}=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án D.

Câu 13:

Với m=0 thì $\sqrt{3}=0$ (vô nghiệm)

Với $m\ne 0$ thì $m\tan x-\sqrt{3}=0$ $\iff \tan x=\frac{\sqrt{3}}{m}$ (luôn có nghiệm)

Phương trình có nghiệm khi $m\ne 0$

Chọn đáp án A.

Câu 14:

Ta có: $\sin x+m\cos x=\sqrt{10}$

Phương trình có nghiệm khi: $1+m^2\ge 10\iff m^2\ge 9$ $\iff [\begin{array}{c}m\le -3\\ m\ge 3\end{array}$

Chọn đáp án A.

Câu 15:

Ta có: $cos2x+\sin x=\sqrt{3}\left(\cos x-\sin 2x\right)$

$\begin{array}{c}\iff \cos 2x+\sin x=\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\sin 2x\\ \iff \cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=\sqrt{3}\cos x-\sin x\\ \iff \frac{1}{2}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x\end{array}$

$\iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

$\iff [\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{3}=x+\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{3}=-x-\frac{\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 16:

Ta có: $\sin 5x.\cos 3x=\sin 7x.\cos 5x$

$\iff \frac{1}{2}\left(\sin 8x+\sin 2x\right)=\frac{1}{2}\left(\sin 12x+\sin 2x\right)$

$\iff \sin 8x=\sin 12x$

$\iff [\begin{array}{c}12x=8x+k2\pi \\ 12x=\pi -8x+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}4x=k2\pi \\ 20x=\pi +k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\frac{k\pi }{2}\\ x=\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{10}\end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 17:

Ta có: $\cos 2x+{\sin }^{2}x+3\cos x-m=5$

$\iff 2{\cos }^{2}x-1+1-{\cos }^{2}x+3\cos x-m=5$

$\iff {\cos }^{2}x+3\cos x-m-5=0$

Đặt $t=\cos x$ với $t\in \left[-1;1\right]$ phương trình trở thành:

$\begin{array}{c}{t}^2+3t-m-5=0\\ \iff t^2+3t+\frac{9}{4}=m+\frac{29}{4}\\ \iff {\left(t+\frac{3}{2}\right)}^2=m+\frac{29}{4}\end{array}$

$\begin{array}{c}-1\le t\le 1\\ \Rightarrow \frac{1}{2}\le t+\frac{3}{2}\le \frac{5}{2}\\ \Rightarrow \frac{1}{4}\le {\left(t+\frac{3}{2}\right)}^2\le \frac{25}{4}\\ \Rightarrow \frac{1}{4}\le m+\frac{29}{4}\le \frac{25}{4}\\ \iff -7\le m\le -1\\ \Rightarrow m\in \left[-7;-1\right]\end{array}$

Suy ra a=-7, b=-1 nên a+b=-8.

Chọn đáp án C.

Câu 18:

Ta có: $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án B.

Câu 19:

Điều kiện: $\{\begin{array}{c}\cos 4x\ne 0\\ \sin 2x\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ne \frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}\\ x\ne k\frac{\pi }{2}\end{array}$

Ta có: $\tan 4x.\cot 2x=1$

$\begin{array}{c}\iff \tan 4x=\frac{1}{\cot 2x}\\ \iff \tan 4x=\tan 2x\\ \iff 4x=2x+k\pi \\ \iff 2x=k\pi \\ \iff x=\frac{k\pi }{2}\left(loai\right)\end{array}$

Do đó phương trình vô nghiệm.

Chọn D

Câu 20:

Ta có: $\cos 3x=\cos x\iff [\begin{array}{c}3x=x+k2\pi \\ 3x=-x+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=k\frac{\pi }{2}\end{array}\Rightarrow x=k\frac{\pi }{2}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21:

$\begin{array}{c}a)3{\sin }^{2}2x+7\cos 2x-3=0\\ \iff 3\left(1-{\cos }^{2}2x\right)+7\cos 2x-3=0\\ \iff 3{\cos }^{2}2x-7\cos 2x=0\\ \iff \cos 2x\left(3\cos 2x-7\right)=0\\ \iff [\begin{array}{cc}\cos 2x=0& \left(1\right)\\ 3\cos 2x-7=0\left(2\right)\end{array}\\ \left(1\right)\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \iff x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\\ \left(2\right)\iff \cos 2x=\frac{7}{3}\end{array}$

Vì $\frac{7}{3}>1$ nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},\left(k\in Z\right)$

$\begin{array}{c}b){\sin }^{2}2x+co{s}^{2}x=1\\ \iff \frac{1-\cos 4x}{2}+\frac{1+\cos 2x}{2}=1\\ \iff \frac{1-\cos 4x+1+\cos 2x}{2}=1\\ \iff 2-\cos 4x+\cos 2x=2\\ \iff -\cos 4x+\cos 2x=0\\ \iff \cos 4x=\cos 2x\\ \iff [\begin{array}{c}4x=2x+k2\pi \\ 4x=-2x+k2\pi \end{array}\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}2x=k2\pi \\ 6x=k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=k\frac{\pi }{3}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=k\pi ;x=k\frac{\pi }{3}$

Câu 22:

$\begin{array}{c}\cos 2x+3\sin 2x+5\sin x-3\cos x=3\\ \iff 1-2{\sin }^{2}x+3.2\sin x\cos x+5\sin x-3\cos x-3=0\\ \iff (6\sin x\cos x-3\cos x)-(2{\sin }^{2}x-5\sin x+2)=0\\ \iff 3\cos x(2\sin x-1)-(2\sin x-1)(\sin x-2)=0\\ \iff (2\sin x-1)(3\cos x-\sin x+2)=0\\ \iff [\begin{array}{c}2\sin x-1=0\\ 3\cos x-\sin x+2=0\end{array}\begin{array}{c}\left(1\right)\\ \left(2\right)\end{array}\\ \left(1\right)\iff \sin x=\frac{1}{2}\\ \iff \sin x=\sin \frac{\pi }{6}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k2\pi \\ x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}\\ \left(2\right)\iff 3\cos x-\sin x=-2\\ \iff \frac{3}{\sqrt{10}}\cos x-\frac{1}{\sqrt{10}}\sin x=\frac{-2}{\sqrt{10}}\left(3\right)\end{array}$

Đặt $\frac{3}{\sqrt{10}}=\sin \alpha ;\frac{1}{\sqrt{10}}=\cos \alpha$

Khi đó (3) trở thành

$\sin \alpha \cos x-\cos \alpha \sin x=\frac{-2}{\sqrt{10}}$

$\iff \sin (\alpha -x)=\frac{-2}{\sqrt{10}}$

$\iff [\begin{array}{c}\alpha -x=\arcsin \left(-\frac{2}{\sqrt{10}}\right)+k2\pi \\ \alpha -x=\pi -\arcsin \left(-\frac{2}{\sqrt{10}}\right)+k2\pi \end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=\alpha -\arcsin \frac{-2}{\sqrt{10}}-k2\pi \\ x=\alpha -\pi +\arcsin \frac{-2}{\sqrt{10}}-k2\pi \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi ;$$x=\alpha -\arcsin \frac{-2}{\sqrt{10}}-k2\pi ;$$x=\alpha -\pi +\arcsin \frac{-2}{\sqrt{10}}-k2\pi$