Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Chương 1 – Đề số 5 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tập xác định của hàm số $y=\frac{1-\sin x}{\sin x+1}$ là:

A. $x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi$

B. $x\ne k2\pi$

C. $x\ne \frac{3\pi }{2}+k2\pi$

D. $x\ne \pi +k2\pi$

Câu 2:Hàm số $y=\sin x$ xác định trên:

A. $R\setminus \left\{k\pi ,k\in Z\right\}$

B. $R$

C. $R\setminus \left\{\frac{k\pi }{2},k\in Z\right\}$

D. $[4;3]$

Câu 3: Cho phương trình: $\sqrt{3}\cos x+m-1=0$ . Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm

A. $m<1-\sqrt{3}$

B. $m>1+\sqrt{3}$

C. $1-\sqrt{3}\le m\le 1+\sqrt{3}$

D. $-\sqrt{3}\le m\le \sqrt{3}$

Câu 4: Cho biết $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi$ là họ nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $2\cos x-1=0$

B. $2\cos x+1=0$

C. $2\sin x+1=0$

D. $2\sin x-\sqrt{3}=0$

Câu 5: Nghiệm của phương trình $\sin 3x=\cos x$ là:

A. $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2};x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

B. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

C. $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

D. $x=k\pi ;x=k\frac{\pi }{2}$

Câu 6: Số nghiệm của phương trình $2\cos x+\sqrt{2}=0$ trên khoảng $\left(-6;6\right)$ là:

A. $4$                                  B. $6$

C. $5$                                  D. $3$

Câu 7: Hàm số nào sau đây không phải là hàm số chẵn, cũng không phải là hàm số lẻ.

A. $y=x^2-sin4x$

B. $y=\frac{\sin x-\cot x}{x}$

C. $y=x^4-\cos x$

D. $y=x^2\tan x$

Câu 8: Giải phương trình $\cos 2x-\sqrt{3}\sin x=1$.

A. $x=k\pi ;x=-\frac{\pi }{6}+k2\pi ;x=\frac{7\pi }{6}+k2\pi$

B. $x=k2\pi ;x=-\frac{2\pi }{3}+k2\pi$

C. $x=k\pi ;x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi ;x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi$

D. $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{3}+k2\pi ;x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$

Câu 9: Giải phương trình $\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\cos x$ .

A. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}$

B. $[\begin{array}{c}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=-\frac{\pi }{12}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}$

C. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{4\pi }{9}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}$

D. $[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}$

Câu 10: Giải phương trình $\cos 4x-\sqrt{3}sin4x=0$.

A. $x=\frac{\pi }{12}+k\frac{\pi }{4}$

B. $x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{4}$

C. $x=k\frac{\pi }{4}$

D. $x=\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{4}$

Câu 11: Giải phương trình ${\sin }^{2}x-\cos x-1=0$.

A. $x=k\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

B. $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ;x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$

C. $x=\frac{\pi }{2}+k\pi ;x=\pi +k2\pi$

D. $x=k\pi ;x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Câu 12: Giải phương trình $\cos x-\sin x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$.

A. $x=-\frac{\pi }{12}-k2\pi ;x=\frac{19\pi }{12}-k2\pi$

B. $x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi ;x=-\frac{13\pi }{12}+k2\pi$

C. $x=\frac{\pi }{12}+k2\pi ;x=\frac{19\pi }{12}+k2\pi$

D. $x=-\frac{7\pi }{12}-k2\pi ;x=\frac{13\pi }{12}-k2\pi$

Câu 13: Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số $y=\sin x$ tăng trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

B. Hàm số $y=\cot x$ giảm trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

C. Hàm số $y=\tan x$ tăng trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

D. Hàm số $y=\cos x$ tăng trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Câu 14: GTNN và GTLN của hàm số $y=4\sqrt{\sin x+3}-1$ lần lượt là

A. $\sqrt{2};2$              B. $2;4$                       

C. $4\sqrt{2};8$          D. $4\sqrt{2}-1;7$ 

Câu 15: Nghiệm đặc biệt nào sau đây là sai

A. $\sin x=-1\iff x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi$

B. $\sin x=0\iff x=k\pi$

C. $\sin x=0\iff x=k2\pi$

D. $\sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Câu 16: Số nghiệm của phương trình $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ trong $\left(0;3\pi \right)$ là

A. $1$                                     B. $2$

C. $6$                                     D. $4$

Câu 17: Tìm tổng các nghiệm của phương trình $2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ trên $\left(-\pi ;\pi \right)$

A. $\frac{2\pi }{3}$                      B. $\frac{\pi }{3}$

C. $\frac{4\pi }{3}$                      D. $\frac{7\pi }{3}$

Câu 18: Để phương trình ${\cos }^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=m$ có nghiệm ta chọn

A. $m\le 1$                            B. $0\le m\le 1$

C. $-1\le m\le 1$                  D. $m\ge 0$

Câu 19: Phương trình $\sin x+\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x$ có nghiệm là:

A. $x=\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{2};x=k\frac{\pi }{4}$

B. $x=\frac{\pi }{8}+k\pi ;x=k\frac{\pi }{2}$

C. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=k\pi$

D. $x=k2\pi ;x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Câu 20: Giải phương trình $\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\cos 2x}=\frac{2}{\sin 4x}$

A. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi ;x=k\pi$

B. $x=k\pi$

C. Phương trình vô nghiệm

D. $x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21: Giải các phương trình sau

$a\left)2\sin \right(x-{30}^0)-1=0$

$b)5{\sin }^{2}x+3\cos x+3=0$

Câu 22: Tìm GTLN, GTNN của hàm số $y=3+\sin 2x$  

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

1C	2B	3C	4B	5A
6A	7A	8C	9D	10D
11C	12B	13D	14D	15C
16C	17A	18B	19D	20C

Câu 1:

Điều kiện xác định: $\sin x\ne -1$ $\iff x\ne \frac{3\pi }{2}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 2:  

Chọn đáp án B

Câu 3:

$\sqrt{3}\cos x+m-1=0$$\iff \cos x=\frac{1-m}{\sqrt{3}}$

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $-1\le \frac{1-m}{\sqrt{3}}\le 1$

$\begin{array}{c}\iff -\sqrt{3}\le 1-m\le \sqrt{3}\\ \iff -\sqrt{3}-1\le -m\le \sqrt{3}-1\\ \iff \sqrt{3}+1\ge m\ge -\sqrt{3}+1\end{array}$

$\iff 1-\sqrt{3}\le m\le 1+\sqrt{3}$

Chọn đáp án C.

Câu 4:

Ta có: $2\cos x+1=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}$ $\iff x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án B.

Câu 5:

Ta có: $\sin 3x=\cos x$ $\iff \cos \left(3x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$

$\iff [\begin{array}{c}3x-\frac{\pi }{2}=x+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{2}=-x+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{8}+k\frac{\pi }{2}\end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án A.

Câu 6:

Ta có: $2\cos x+\sqrt{2}=0\iff \cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff x=\pm \frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in Z\right)$

+ Với $x=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \in \left(-6;6\right)$ $\Rightarrow k\in \left(-1,32;0,579\right)\to k\in \left\{-1;0\right\}$

+ Với $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \in \left(-6;6\right)$ $\Rightarrow k\in \left(-0,57;1,329\right)\to k\in \left\{0;1\right\}$

Chọn đáp án A.

Câu 7:

Ta có: $y=x^2-\sin 4x\ne {\left(-x\right)}^2-\sin \left(-4x\right)$

$\Rightarrow$ Hàm số $y=x^2-sin4x$ không phải là hàm chẵn, cũng không phải là hàm lẻ.

Chọn đáp án A.

Câu 8:

Ta có: $\cos 2x-\sqrt{3}\sin x=1$ $\iff 1-2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin x=1$

$\iff 2{\sin }^{2}x+\sqrt{3}\sin x=0$ $\iff \sin x\left(2\sin x+\sqrt{3}\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\sin x=0\\ \sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x=\frac{4\pi }{3}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 9:

Ta có: $\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\cos x$

$\begin{array}{c}\cos 2x+\sin 2x=\sqrt{2}\cos x\\ \iff \sqrt{2}\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\cos x\\ \iff \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\\ \iff [\begin{array}{c}2x-\frac{\pi }{4}=x+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi }{4}=-x+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 3x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{\pi }{12}+\frac{k2\pi }{3}\end{array}\end{array}$

Chọn đáp án D.

Câu 10:

Ta có: $\cos 4x-\sqrt{3}sin4x=0$ $\iff 2\cos \left(4x-\frac{\pi }{3}\right)=0$

$\iff \cos \left(4x+\frac{\pi }{3}\right)=0$ $\iff 4x+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$ $\iff x=\frac{\pi }{24}+k\frac{\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án D.

Câu 11:

Ta có: ${\sin }^{2}x-\cos x-1=0$ $\iff 1-{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$

$\iff {\cos }^{2}x+\cos x=0$ $\iff \cos x\left(\cos x+1\right)=0$

$\iff [\begin{array}{c}\cos x=0\\ \cos x=-1\end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=\pi +k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 12:

Ta có: $\cos x-\sin x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$ $\iff \sqrt{2}\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{2}$

$\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos \frac{5\pi }{6}$

$\iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=-\frac{5\pi }{6}+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi \\ x=-\frac{13\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án B.

Câu 13:

Hàm số $y=\cos x$ giảm trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Chọn đáp án D.

Câu 14:

Ta có: $\sin x\in \left[-1;1\right]$ $\Rightarrow \sin x+3\in \left[2;4\right]$ $\Rightarrow \sqrt{\sin x+3}\in \left[\sqrt{2};2\right]$

Khi đó $y=4\sqrt{\sin x+3}-1\in \left[4\sqrt{2}-1;7\right]$

Chọn đáp án D.

Câu 15:

Ta có: $\sin x=0\iff x=k\pi \left(k\in Z\right)$

Chọn đáp án C.

Câu 16:

Ta có: $\sin 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff \sin 2x=\sin \frac{\pi }{3}$

$\iff [\begin{array}{c}2x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ 2x=\pi -\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{6}+k\pi \\ x=\frac{\pi }{3}+k\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

+ Với $x=\frac{\pi }{6}+k\pi \in \left(0;3\pi \right)$ $\Rightarrow k\in \left(-\frac{1}{6};\frac{17}{6}\right)\to k\in \left\{0;1;2\right\}$

+ Với $x=\frac{\pi }{3}+k\pi \in \left(0;3\pi \right)$ $\Rightarrow k\in \left(-\frac{1}{3};\frac{8}{3}\right)\to k\in \left\{0;1;2\right\}$

Chọn đáp án C.

Câu 17:

Ta có: $2\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ $\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$ $\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}$

$\iff [\begin{array}{c}x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \end{array}$ $\iff [\begin{array}{c}x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi \\ x=k2\pi \end{array}\left(k\in Z\right)$

Các nghiệm thuộc khoảng $\left(-\pi ;\pi \right)$ là $\left\{0;\frac{2\pi }{3}\right\}$

Do đó tổng hai nghiệm là $\frac{2\pi }{3}$.

Chọn đáp án A.

Câu 18:

Ta có: ${\cos }^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1+\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)}{2}=m$ $\iff \cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=2m-1$

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $2m-1\in \left[-1;1\right]$ $\iff 2m\in \left[0;2\right]\iff m\in \left[0;1\right]$

Chọn đáp án B.

Câu 19:

Ta có: $\sin x+\cos x=1-\frac{1}{2}\sin 2x$ $\iff \sin x+\cos x=1-\sin x\cos x$

$\iff \sin x+\cos x-1+\sin x\cos x=0$

Đặt $t=\sin x+\cos x$

$\begin{array}{c}\Rightarrow t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2\\ ={\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x\\ =1+2\sin x\cos x\\ =1+\sin 2x\le 1+1=2\\ \Rightarrow t^2\le 2\Rightarrow -\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\\ \Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}\end{array}$

Phương trình trở thành:

$\begin{array}{c}t-1+\frac{t^2-1}{2}=0\\ \iff 2t-2+t^2-1=0\\ \iff t^2+2t-3=0\\ \iff [\begin{array}{c}t=1\left(TM\right)\\ t=-3\left(KTM\right)\end{array}\end{array}$

Với $t=1$ thì $\sin x+\cos x=1$

$\begin{array}{c}\iff \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\\ \iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}=\sin \frac{\pi }{4}\\ \iff [\begin{array}{c}x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=k2\pi \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{array}\end{array}$

Chọn đáp án D.

Câu 20:

Điều kiện: $\sin 4x\ne 0\iff x\ne k\frac{\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

Ta có: $\frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\cos 2x}=\frac{2}{\sin 4x}$ $\iff \frac{\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x.\cos 2x}=\frac{2}{\sin 4x}$

$\iff \frac{\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x\cos 2x}=\frac{2}{2\sin 2x\cos 2x}$

$\iff \sin 2x+\cos 2x=1$

$\begin{array}{c}\iff \sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=1\\ \iff \sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \iff [\begin{array}{c}2x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 2x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=k\pi \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \end{array}\end{array}$

So sánh điều kiện, phương trình vô nghiệm.

Chọn đáp án C.

II. PHẦN TỰ LUẬN

Câu 21:

$\begin{array}{c}a\left)2\sin \right(x-{30}^0)-1=0\\ \iff \sin (x-{30}^0)=\frac{1}{2}\\ \iff \sin (x-{30}^0)=\sin {30}^0\\ \iff [\begin{array}{c}x-{30}^0={30}^0+k{360}^0\\ x-{30}^0={180}^0-{30}^0+k{360}^0\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x={60}^0+k{360}^0\\ x={180}^0+k{360}^0\end{array}\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x={60}^0+k{360}^0;x={180}^0+k{360}^0$

$\begin{array}{c}b)5{\sin }^{2}x+3\cos x+3=0\\ \iff 5(1-{\cos }^{2}x)+3\cos x+3=0\\ \iff -5{\cos }^{2}x+3\cos x+8=0\\ \iff [\begin{array}{c}\cos x=\frac{8}{5}\text{(vô nghiệm)}\\ \cos x=-1\end{array}\\ \iff \cos x=-1\\ \iff x=\pi +k2\pi \end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\pi +k2\pi$

Câu 22:

Ta có $-1\le \sin 2x\le 1$

$\iff 2\le 3+\sin 2x\le 4$

$\iff 2\le y\le 4\forall x\in R$

Vậy $miny=2$ khi $\sin 2x=-1$

$\iff 2x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{-\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$

$maxy=4$ khi $\sin 2x=1$

$\iff 2x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in Z)$