Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) – Chương 3 – Đề số 1 – Đại số và giải tích 11

 

Đề bài

Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là :$-2;0;2;4;6;....$Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng ?

A. $u_n=-2n$ 

B. $u_n=(-2)(n+1)$

C. $u_n=(-2)+n$

D. $u_n=(-2)+2(n-1)$

Câu 2: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$có công bội q. Chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. $u_k=\sqrt{u_{k+1}.u_{k+2}}$          

B. $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$

C. $u_k=u_1.q^{k-1}$   

D. $u_k=u_1+(k-1)q$

Câu 3: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$có $u_2+u_3=20,u_5+u_7=-29$. Tìm $u_1,d$?

A. $u_1=20;d=7$   

B. $u_1=20,5;d=-7$

C. $u_1=20,5;d=7$

D.$u_1=-20,5;d=-7$

Câu 4: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi  $\{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ u_n=2u_{n-1}+3,\forall n\ge 2\end{array}$. Viết năm số hạng đầu của dãy ?

A. 1;5;13;28;61           

B. 1;5;13;29;61            

C. 1;5;17;29;61            

D. 1;5;14;29;61

Câu 5: Xét xem dãy số $\left(u_n\right)$với $u_n=3n-1$ có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định công bội.

A. $q=3$                    B. $q=2$

C. $q=4$                    D. $q=\varnothing$

Câu 6: Cho dãy số$\left(y_n\right)$ xác định bởi $y_1=y_2=1$  và $y_{n+2}=y_{n+1}+y_n,\forall n\in N\ast .$ Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó là:

A.$1,1,2,4,7$              B.$2,3,5,8,11$ 

C.$1,2,3,5,8$              D.$1,1,2,3,5$

Câu 7: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thỏa mãn :$\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}$. Xác định công sai ?

A. d = 3                       B. d = 5

C. d = 6                       D. d = 4

Câu 8: Cho dãy số $\left(u_n\right)$có $u_1=\frac{1}{4};d=\frac{-1}{4}$. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $S_5=\frac{5}{4}$ 

B. $S_5=\frac{4}{5}$ 

C. $S_5=-\frac{5}{4}$   

D. $S_5=-\frac{4}{5}$

Câu 9: Cho dãy số $\left(u_n\right)$với :$u_n=7-2n$. Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. 3 số hạng đầu của dãy : $u_1=5;u_2=3;u_3=1$

B. Số hạng thứ $n+1:u_{n+1}=8-2n$

C. Là cấp số cộng có d = - 2

D. Số hạng thứ 4: $u_4=-1$

Câu 10: Cho dãy số $-1;x;0,64$. Chọn $x$ để dãy số đã cho theo thứ tự lập thành cấp số nhân

A. Không có giá trị nào của $x$

B. $x=0,008$

C. $x=-0,008$

D. $x=0,004$

Câu 11: Xét tính tăng , giảm và bị chặn của dãy số $\left(u_n\right)$ biết $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}$

A. Dãy số tăng, bị chặn                                    

B. Dãy số giảm, bị chặn

C. Dãy số không tăng, không giảm, không bị chặn                                        

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 12: Cho a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $a^2+c^2=2ab+2bc$ 

B. $a^2-c^2=2ab-2bc$

C. $a^2+c^2=2ab-2bc$

D. $a^2-c^2=ab-bc$

Câu 13: Tìm số hạng lớn nhất của dãy số $\left(a_n\right)$ có $a_n=-n^2+4n+11,\forall n\in N\ast$ .

A. 14                           B. 15 

C. 13                           D. 12

Câu 14: Cho dãy số $\left(u_n\right)$với :$u_n=\frac{-n}{n+1}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. Năm số hạng đầu của dãy là : $\frac{-1}{2};\frac{-2}{3};\frac{-3}{4};\frac{-5}{5};\frac{-5}{6};$

B. Năm số hạng đầu của dãy là: $\frac{-1}{2};\frac{-2}{3};\frac{-3}{4};\frac{-4}{5};\frac{-5}{6};$

C. Là dãy số tăng

D. Bị chặn trên bởi số 1

Câu 15: Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=5$ và $x_{n+1}=x_n+n,\forall n\in N\ast$. Số hạng tổng quát của dãy số $\left(x_n\right)$ là:

A.$x_n=\frac{n^2-n+10}{2}$ 

B.$x_n=\frac{5n^2-5n}{2}$

C.$x_n=\frac{n^2+n+10}{2}$  

D.$x_n=\frac{n^2+3n+12}{2}$

Câu 16: Cho cấp số nhân $\left(u_n\right)$thỏa mãn: $\{\begin{array}{c}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}$. Viết 5 số hạng đầu của cấp số

A. $u_1=2;u_2=\frac{2}{5};u_3=\frac{2}{9};u_4=\frac{2}{27};u_5=\frac{2}{81}$  C. $u_1=1;u_2=\frac{2}{3};u_3=\frac{2}{9};u_4=\frac{2}{27};u_5=\frac{2}{81}$

B. $u_1=2;u_2=\frac{2}{3};u_3=\frac{2}{9};u_4=\frac{2}{27};u_5=\frac{2}{64}$  D. $u_1=2;u_2=\frac{2}{3};u_3=\frac{2}{9};u_4=\frac{2}{27};u_5=\frac{2}{81}$

Câu 17: Xét tính bị chặn của dãy số sau: $u_n=4-3n-n^2$

A. Bị chặn                    B. Không bị chặn          C. Bị chặn trên              D. Bị chặn dưới

Câu 18: Xác định x để 3 số :$1-x;x^2;1+x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?

A. Không có giá trị nào của x 

B. $x=\pm 2$

C. $x=\pm 1$

D. $x=0$

Câu 19: Cho cấp số nhân có $u_1=-3;q=\frac{2}{3}$. Tính $u_5$

A. $u_5=\frac{-27}{16}$

B. $u_5=\frac{-16}{27}$

C. $u_5=\frac{16}{27}$ 

D. $u_5=\frac{27}{16}$

Câu 20: Một cấp số cộng có 13 số hạng, số hạng đầu là 2 và tổng của 13 số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 260. Khi đó, giá trị của $u_{13}$là bao nhiêu.

A. $u_{13}=40$       

B. $u_{13}=38$ 

C. $u_{13}=36$

D. $u_{13}=20$

Câu 21: Cho một cấp số cộng có 20 số hạng. Đẳng thức nào sau đây là sai ?

A. $u_1+u_{20}=u_2+u_{19}$         

B. $u_1+u_{20}=u_5+u_{16}$           

C. $u_1+u_{20}=u_8+u_{13}$         

D. $u_1+u_{20}=u_9+u_{11}$

Câu 22: Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3;9;27;81;…Khi đó $u_n$có thể được tính theo biểu thức nào sau đây

A. $u_n=3^{n-1}$

B. $u_n=3^n$        

C. $u_n=3^{n+1}$ 

D. $u_n=3+3^n$

Câu 23: Dân số của thành phố A hiện nay là $3$ triệu người. Biết rằng tỉ lệ tăng dân số hàng năm của thành phố A là $2\%$. Dân số của thành phố A sau $3$ năm nữa sẽ là:

A. 3183624 

B. 2343625

C. 2343626 

D. 2343627

Câu 24: Cho cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có công sai $d>0$; $\{\begin{array}{c}{u}_{31}+u_{34}=11\\ {u^2}_{31}+{u^2}_{34}=101\end{array}$. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. $u_n=3n-9$   

B. $u_n=3n-2$    

C. $u_n=3n-92$  

D. $u_n=3n-66$

Câu 25: Với $n\in N^{\ast }$, ta xét các mệnh đề: P: “$7^n+5$ chia hết cho $2$”; Q: “$7^n+5$ chia hết cho 3” và R: “$7^n+5$ chia hết cho $6$”. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. $3$                                     B. $0$

C. $1$                                     D. $2$

 

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
D	C	B	B	D
6	7	8	9	10
D	A	C	B	A
11	12	13	14	15
A	B	B	B	A
16	17	18	19	20
D	C	C	B	B
21	22	23	24	25
D	B	A	C	A

Lời giải chi tiết

Câu 1. Ta có dãy số trên là cấp số cộng với công với số hạng đầu u₁ = -2 và công sai d = 2.

Vậy số hạng tổng quát của dãy là:

$u_n=u_1+(n-1)d=(-2)+2(n-1)$

Chọn D.

Câu 3. Áp dụng công thức số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{u}_2+u_3=20\\ u_5+u_7=-29\end{array}=\{\begin{array}{c}{u}_1+d+u_1+2d=20\\ u_1+4d+u_1+6d=-29\end{array}\\ =\{\begin{array}{c}2u_1+3d=20\\ 2u_1+10d=-29\end{array}=\{\begin{array}{c}{u}_1=20,5\\ d=-7\end{array}\end{array}$

Chọn B.

Câu 4. Ta có

$u_2=2.1+3=5;$

$u_3=2.5+3=13;$

$u_4=2.13+3=29;$

$u_2=2.29+3=61;$

Chọn B.

Câu 5. Ta có

$\begin{array}{c}{u}_1=3.1-1=2\\ u_2=3.2-1=5\\ u_3=3.3-1=8\end{array}\}\Rightarrow \frac{5}{2}\ne \frac{8}{2}$

Vậy $\left(u_n\right)$ không phải là cấp số nhân nên không tồn tại q.

Chọn D.

Câu 6:

$\begin{array}{c}{y}_1=y_2=1\\ y_3=y_2+y_1=1+1=2\\ y_4=y_3+y_2=2+1=3\\ y_5=y_4+y_3=3+2=5\end{array}$

Chọn D

Câu 7.Ta có

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_2-u_3+u_5=10\\ u_4+u_6=26\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{u}_1+d-u_1-2d+u_1+4d=10\\ u_1+3d+u_1+5d=26\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{u}_1+3d=10\\ 2u_1+8d=26\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{u}_1=1\\ d=3\end{array}\end{array}$

Chọn A.

Câu 8. Ta có

$S_5=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=5.\frac{1}{4}+\frac{5.4}{2}.\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{5}{4}$

Chọn C.

Câu 10. $\{\begin{array}{c}x=-1.q\\ 0,64=x.q\end{array}\Rightarrow 0,64=-x^2$(vô lí)

Chọn A.

Câu 11. $\forall n\in N^{\ast },u_{n+1}-u_n=\frac{2(n+1)-3}{3(n+1)-2}-\frac{2n-3}{3n-2}$$=\frac{35}{(3n+1)(3n-2)}>0.$

Và $u_n=\frac{2n-13}{3n-2}=\frac{2}{3}-\frac{35}{3(3n-2)}\le \frac{2}{3}$

Chọn A.

Câu 12. Ta có

$\begin{array}{c}b=\frac{a+c}{2}\\ \iff c=2b-a\\ \iff a^2-c^2=4ab-4b^2\\ \iff a^2-c^2=4ab-2b(a+c)\\ \iff a^2-c^2=2ab-2bc\end{array}$

Chọn B.

Câu 13.

$a_n=-n^2+4n+11$$=-n^2+4n-4+15=-{\left(n-2\right)}^2+15\le 15$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $n-2=0\iff n=2$

Vậy số hạng lớn nhất của dãy số là số hạng bằng 15.

Chọn B.

Câu 14. Ta có

$u_1=\frac{-1}{1+1}=\frac{-1}{2}$;

$u_2=\frac{-2}{2+1}=\frac{-2}{3}$;

$u_3=\frac{-3}{3+1}=\frac{-3}{4}$;

$u_4=\frac{-4}{4+1}=\frac{-4}{5}$;

$u_5=\frac{-5}{5+1}=\frac{-5}{6}$.

Chọn B.

Câu 15.

$\begin{array}{c}{x}_1=5\\ x_2=x_1+1=5+1\\ x_3=x_2+2=5+1+2\\ x_4=x_3+3=5+1+2+3\\ ...\end{array}$

Dự đoán $x_n=5+1+2+3+...+n-1$$=5+\frac{n\left(n-1\right)}{2}(\ast )\forall n\in N\ast$

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

(*) đúng với n = 1.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là $x_k=5+\frac{k\left(k-1\right)}{2},$ ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh $x_{k+1}=5+\frac{\left(k+1\right)k}{2}$.

Ta có: $x_{k+1}=x_k+k=5+\frac{k\left(k-1\right)}{2}+k=5+\frac{k\left(k-1\right)+2k}{2}$$=5+\frac{k\left(k-1+2\right)}{2}=5+\frac{\left(k+1\right)k}{2}$.

Vậy (*) đúng với mọi $n\in N\ast$.

Vậy $x_n=5+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=\frac{n^2-n+10}{2}\forall n\in N\ast$

Chọn A.

Câu 16. Ta có

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_4=\frac{2}{27}\\ u_3=243u_8\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1.q^3=\frac{2}{27}\\ u_1.q^2=243u_1.q^7\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{u}_1=\frac{2}{27.q^3}\\ \frac{1}{q^5}=243\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1=2\\ q=\frac{1}{3}\end{array}\iff u_n=2.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}\end{array}$

$u_2=\frac{2}{3^1}=\frac{2}{3}$;

$u_3=\frac{2}{3^2}=\frac{2}{9}$;

$u_4=\frac{2}{3^3}=\frac{2}{27}$;

$u_5=\frac{2}{3^4}=\frac{2}{81}$.

Chọn D. 

Câu 17. Ta có $u_n=4-3n-n^2=-{\left(n-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{25}{4}\le \frac{25}{4}$

Chọn C.

Câu 18. Ta có 3 số này lập thành một cấp số cộng, do đó:

$x^2=\frac{1-x+1+x}{2}\iff x^2=1\iff x=\pm 1$

Chọn C.

Câu 19. Ta có $u_5=(-3).{\left(\frac{2}{3}\right)}^4=-\frac{16}{27}$

Chọn B.

Câu 20. Ta có $\begin{array}{c}{S}_{13}=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d=13.2+\frac{13.12}{2}.d\\ \iff d=3\iff u_{13}=2+13.3=38\end{array}$

Chọn B.

Câu 21. Ta có $\begin{array}{c}{u}_1+u_{20}=u_1+u_1+19d=u_1+d+u_1+18d\\ =u_2+u_{19}=u_5+u_{16}=u_8+u_{13}\end{array}$

Chọn D.

Câu 22. Ta có cấp số nhân với công bôi q = 3 nên $u_n={3.3}^{n-1}=3^n$

Chọn B.

Câu 23. Dân số của thành phố A sau 3 năm là: $u_3=3000000.(1+2\%{)}^3=3183624$

Chọn A.

Câu 24. Ta có:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_{31}+u_{34}=11\\ {u^2}_{31}+{u^2}_{34}=101\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{u}_{34}=11-u_{31}\\ {u^2}_{31}+(11-u_{31}{)}^2=101\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_{31}=1\\ u_{34}=10\end{array}\\ \{\begin{array}{c}{u}_{31}=10\\ u_{34}=1\end{array}\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{u}_1=-89\\ d=3\end{array}\\ \{\begin{array}{c}{u}_1=100\\ d=-3\end{array}\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{u}_1=-89\\ d=3\end{array}(d>0)\end{array}$

$u_n=-89+(n-1)3=3n-92$

Chọn C.