Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) – Chương 4 – Đề số 1 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

Câu 1: Giá trị của $lim\frac{1-n^2}{n}$ bằng:

A. $+\infty$             B. $-\infty$

C. 0                  D. 1               

Câu 2: Cho $lim{u}_n=L$. Chọn mệnh đề đúng:

A. $lim\sqrt[3]{3u_n}=L$

B. $lim\sqrt[]{u_n}=L$

C. $lim\sqrt[]{u_n}=\sqrt{L}$

D. $lim\sqrt[3]{3u_n}=\sqrt[3]{3L}$

Câu 3: Tính $\underset{x\to +\infty }{lim}(x+2)\sqrt{\frac{x-1}{x^4+x^2+1}}$

A. $\frac{1}{2}$                   B. 0

C. 1                     D. Không tồn tại

Câu 4: Giá trị của $lim\frac{4n^2+3n+1}{{(3n-1)}^2}$ bằng

A. $+\infty$                B. $-\infty$

C. $\frac{4}{9}$                  D. 1

Câu 5: Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=(n-1)\sqrt{\frac{2n+2}{n^4+n^2-1}}$. Chọn kết quả đúng của $lim{u}_n$là

A. $-\infty$                B. 0

C. 1                    D. $+\infty$

Câu 6: $lim\frac{5^n-1}{3^n+1}$ bằng

A. $+\infty$                 B. 1

C.0                       D. $-\infty$

Câu 7: Giá trị của $lim(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt[3]{3n^3+2n^2})$ bằng

A. $-\infty$                     B. $+\infty$

C. $\frac{1}{3}$                        D. 1

Câu 8: Tính giới hạn sau: $lim\left[\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}\right]$

A. $\frac{11}{18}$                    B. 2

C. 1                       D. $\frac{3}{2}$

Câu 9: Chọn đáp án đúng: Với  là các hằng số và  nguyên dương thì:

A. $\underset{x\to -\infty }{lim}c=c$     

B. $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{c}{x^k}=+\infty$      

C. $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^k=0$

D.$\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^k=-\infty$

Câu 10: $\underset{x\to -2}{lim}\frac{4x^3-1}{3x^2+x+2}$ bằng

A. $-\infty$               B. $\frac{-11}{4}$

C. $\frac{11}{4}$                 D. $+\infty$

Câu 11: Tính giới hạn sau: $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}$

A. $+\infty$                  B. $\frac{1}{8}$

C. -2                     D. 1

Câu 12: Cho phương trình $2x^4-5x^2+x+1=0\left(1\right)$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong $(-2;1)$

B. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $(0;2)$

C. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $(-2;0)$

D. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng $(-1;1)$

Câu 13: Tìm a để hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}5a{x}^2+3x+2a+1\\ 1+x+\sqrt{x^2+x+2}\end{array}\begin{array}{c}khi\\ khi\end{array}\begin{array}{c}x\ge 0\\ x<0\end{array}$có giới hạn khi $x\to 0$

A. $+\infty$                 B. $-\infty$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$                 D. 1

Câu 14: Tìm giới hạn $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-8}$

A. $+\infty$                 B. $-\infty$

C. $-\frac{1}{6}$                 D. 1

Câu 15: Tìm giới hạn $\underset{x\to 2}{lim}\frac{2x^2-5x+2}{x^3-8}$

A. $+\infty$                  B. $-\infty$

C. $\frac{1}{4}$                    D. 0

Câu 16: Tính $\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{\left|x-3\right|}{3x-9}$ bằng?

A. $-\frac{1}{3}$                 B.

C. $\frac{1}{3}$                 D. Không tồn tại

Câu 17: Cho cấp số nhân $u_n=\frac{1}{2^n},\forall n\ge 1$. Khi đó:

A. S=1                 B. $s=\frac{1}{2^n}$

C. S=0                 D.  S=2

Câu 18: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x^2-5x+6}$ . Hàm số  liên tục trên khoảng nào sau đây?

A. $(-\infty ;3)$                    B. $(2;3)$

C. $(-3;2)$                D. $(-3;+\infty )$

Câu 19: Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{2x+8}-2}{\sqrt{x+2}}\\ 0\end{array}\begin{array}{c}khi\\ khi\end{array}\begin{array}{c}x>-2\\ x=-2\end{array}.$ Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(1) $\underset{x\to {(-2)}^{+}}{lim}f\left(x\right)=0$

(2) $f\left(x\right)$liên tục tại x = -2

(3) $f\left(x\right)$ gián đoạn tại x = -2

A.Chỉ (1) và (3)

B. Chỉ (1) và (2)

C. Chỉ (1)

D. Chỉ (2)

Câu 20: Cho hàm số$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}{(x+1)}^2\\ x^2+3\\ k^2\end{array}\begin{array}{c},x>1\\ ,x<1\\ ,x=1\end{array}$. Tìm k để $f\left(x\right)$ gián đoạn tại x = 1

A. $k\ne \pm 2$

B. $k\ne 2$

C. $k\ne -2$

D. $k\ne \pm 1$

Câu 21: Cho hàm số$f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\frac{x^2-3x+2}{\sqrt{x-1}}+2,x>1\\ 3x^2+x-1,x\le 1\end{array}$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất.

A. Hàm số liên tục tại x = 1

B. Hàm số liên tục tại mọi điểm

C. Hàm số không liên tục tại x = 1

D. Tất cả đều sai

Câu 22: Tìm giới hạn $\underset{x\to +\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-x+1}-x\right)$

A. $+\infty$          B. $-\infty$

C. $\frac{-1}{2}$           D. $0$

Câu 23: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

(1) $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ liên tục trên $R$

(2) $f\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}$ có giới hạn khi $x\to 0$

(3)$f\left(x\right)=\sqrt{9-x^2}$ liên tục trên đoạn [-3;3]

A.Chỉ (1) và (2)

B. Chỉ (2) và (3)

C. Chỉ (2)

D. Chỉ (3)

Câu 24: Tìm giới hạn $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{1}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}\right)$

A. $+\infty$                  B. $-\infty$

C. $\frac{-2}{3}$                  D. $\frac{2}{3}$

Câu 25: Giá trị đúng của  $\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^4+7}{x^4+1}$là

A. $+\infty$                 B. -1

C. 1                      D. 7

 

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
B	D	B	C	B
6	7	8	9	10
A	C	A	A	B
11	12	13	14	15
B	B	C	D	C
16	17	18	19	20
C	A	B	B	A
21	22	23	24	25
C	C	B	B	C

 

Câu 1: Đáp án B

$lim\frac{1-n^2}{n}=lim\left(\frac{1}{n}-n\right)=-\infty$

Câu 2: Đáp án D

$lim{u}_n=L\Rightarrow lim\sqrt[3]{3u_n}=\sqrt[3]{3L}$

Câu 3: Đáp án B

$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{lim}(x+2)\sqrt{\frac{x-1}{x^4+x^2+1}}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{\frac{\left(x-1\right){\left(x+2\right)}^2}{x^4+x^2+1}}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+4x+4\right)}{x^4+x^2+1}}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{\frac{x^3+3x^2-4}{x^4+x^2+1}}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}-\frac{4}{x^4}}{1+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}}}\\ =\sqrt{\frac{0}{1}}=0\end{array}$

Câu 4: Đáp án C

$lim\frac{4n^2+3n+1}{{(3n-1)}^2}$ $=lim\frac{4n^2+3n+1}{9n^2-6n+1}$ $=lim\frac{4+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{9-\frac{6}{n}+\frac{1}{n^2}}=\frac{4}{9}$

Câu 5: Đáp án B

$\begin{array}{c}lim{u}_n=lim\left((n-1)\sqrt{\frac{2n+2}{n^4+n^2-1}}\right)\\ =lim\sqrt{\frac{\left(2n+2\right){\left(n-1\right)}^2}{n^4+n^2-1}}\\ =lim\sqrt{\frac{\left(2n+2\right)\left(n^2-2n+1\right)}{n^4+n^2-1}}\\ =lim\sqrt{\frac{2n^3-6n^2-2}{n^4+n^2-1}}\\ =lim\sqrt{\frac{\frac{2}{n}-\frac{6}{n^2}-\frac{2}{n^4}}{1+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n^4}}}\\ =\sqrt{\frac{0}{1}}=0\end{array}$

Câu 6: Đáp án A

$lim\frac{5^n-1}{3^n+1}=lim\frac{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}$

Do $lim\left(1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n\right)=1>0$, $lim\left({\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n\right)=0$và ${\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n>0$nên

$lim\frac{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}{{\left(\frac{3}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^n}=+\infty$

Câu 7: Đáp án C

$\begin{array}{c}lim\left(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt[3]{3n^3+2n^2}\right)\\ =lim\left(\sqrt{n^2+2n}-n\right)\\ +lim\left(n-\sqrt[3]{3n^3+2n^2}\right)\\ =lim\frac{n^2+2n-n^2}{\sqrt{n^2+2n}+n}\\ +lim\frac{n^3-n^3-2n^2}{n^2+n.\sqrt[3]{3n^3+2n^2}+{\left(\sqrt[3]{3n^3+2n^2}\right)}^2}\\ =lim\frac{2n}{\sqrt{n^2+2n}+n}\\ +lim\frac{-2n^2}{n^2+n.\sqrt[3]{3n^3+2n^2}+{\left(\sqrt[3]{3n^3+2n^2}\right)}^2}\\ =lim\frac{2}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+1}\\ +lim\frac{-2}{1+\sqrt[3]{31+\frac{2}{n}}+{\left(\sqrt[3]{31+\frac{2}{n}}\right)}^2}\\ =1+\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}\end{array}$

Câu 8: Đáp án A

$lim\left[\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}\right]$

Ta có:

 $\begin{array}{c}\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}\\ =\frac{1}{3}\left(\frac{3}{1.4}+\frac{3}{2.5}+...+\frac{3}{n(n+3)}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)\\ =\frac{1}{3}\left[\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n+3}\right)\right]\\ =\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)\\ \Rightarrow lim\left(\frac{1}{1.4}+\frac{1}{2.5}+...+\frac{1}{n(n+3)}\right)\\ =lim\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{18}\end{array}$

Câu 9: Đáp án A

Với  là các hằng số và  nguyên dương thì:

Câu 10: Đáp án B

$\underset{x\to -2}{lim}\frac{4x^3-1}{3x^2+x+2}$ $=\frac{4.{(-2)}^2-1}{3.{(-2)}^2+(-2)+2}=\frac{-33}{12}=\frac{-11}{4}$

Câu 11: Đáp án B

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+4}-2}{2x}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left(\sqrt{x+4}-2\right)\left(\sqrt{x+4}+2\right)}{2x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x+4-4}{2x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{2x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{2x\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\\ =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{2\left(\sqrt{x+4}+2\right)}\\ =\frac{1}{2\left(\sqrt{4}+2\right)}=\frac{1}{8}\end{array}$

Câu 12: Đáp án B

Câu 13: Đáp án C

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(5a{x}^2+3x+2a+1\right)\\ =2a+1\\ \underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(1+x+\sqrt{x^2+x+2}\right)\\ =1+\sqrt{2}\end{array}$

Để f(x) có giới hạn khi  x$\to$ 0 thì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)$=$\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$ hay $2a+1=1+\sqrt{2}\iff a=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Câu 14: Đáp án D

$\begin{array}{c}\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-8}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\left(x+2\right)\left(x^2-1\right)}{x^2+2x+4}\\ =\frac{(2+2)(2^2-1)}{2^2+2.2+4}=1\end{array}$

Câu 15: Đáp án C

$\begin{array}{c}\underset{x\to 2}{lim}\frac{2x^2-5x+2}{x^3-8}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{\left(x-2\right)\left(2x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\\ =\underset{x\to 2}{lim}\frac{2x-1}{x^2+2x+4}\\ =\frac{2.2-1}{2^2+2.2+4}=\frac{1}{4}\end{array}$

Câu 16: Đáp án C

$\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{\left|x-3\right|}{3x-9}$ $=\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{x-3}{3x-9}$ $=\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{x-3}{3\left(x-3\right)}$ $=\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

Câu 17: Đáp án A

Cho cấp số nhân $u_n=\frac{1}{2^n},\forall n\ge 1$.

Khi đó: $u_1=\frac{1}{2},q=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

Câu 18: Đáp án B

f(x) xác định khi $x^2+5x+6\ne 0\iff x\ne 2$hoặc $x\ne -3$

Suy ra hàm số  liên tục trên khoảng (2;3)

Câu 19: Đáp án B

$\begin{array}{c}\underset{x\to {(-2)}^{+}}{lim}f\left(x\right)\\ =\underset{x\to {(-2)}^{+}}{lim}\frac{\sqrt{2x+8}-2}{\sqrt{x+2}}\\ =\underset{x\to {(-2)}^{+}}{lim}\frac{2x+4}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{2x+8}+2\right)}\\ =\underset{x\to {(-2)}^{+}}{lim}\frac{2(x+2)}{\sqrt{x+2}\left(\sqrt{2x+8}+2\right)}\\ =\underset{x\to {(-2)}^{+}}{lim}\frac{2\sqrt{x+2}}{\sqrt{2x+8}+2}=0\end{array}$

Câu 20: Đáp án A

$\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\left(x+1\right)}^2=4\\ \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x^2+3\right)=4\end{array}$

Để f(x) gián đoạn tại x = 1 thì $k^2\ne 4\iff k\ne \pm 2$

Câu 21: Đáp án C

$\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{x^2-3x+2}{\sqrt{x-1}}+2\right)\\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x^2-3x+2}{\sqrt{x-1}}+\underset{x\to 1^{+}}{lim}2\\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\sqrt{x-1}}+\underset{x\to 1^{+}}{lim}2\\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\sqrt{x-1}\left(x+2\right)+\underset{x\to 1^{+}}{lim}2\\ =0+2=2\end{array}$

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(3x^2+x-1\right)=3+1-1=3$

$f\left(1\right)={3.1}^2+1-1=3$

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)$nên hàm số gián đoạn tại x=1

Câu 22: Đáp án C

$\begin{array}{c}\underset{x\to +\infty }{lim}\left(\sqrt{x^2-x+1}-x\right)\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{\left(\sqrt{x^2-x+1}-x\right)\left(\sqrt{x^2-x+1}+x\right)}{\sqrt{x^2-x+1}+x}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x^2-x+1-x^2}{\sqrt{x^2-x+1}+x}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{1-x}{\sqrt{x^2-x+1}+x}\\ =\underset{x\to +\infty }{lim}\frac{x\left(\frac{1}{x}-1\right)}{x\left(\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)}=\frac{-1}{2}\end{array}$

Câu 23: Đáp án B

f(x) có tập xác định $D=R\setminus \left\{\pm 1\right\}\Rightarrow$(1) sai

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{sinx}{x}=1\Rightarrow$(2) đúng

f(x) có tập xác định $D=\left[-3;3\right]\Rightarrow$liên tục trên $\left[-3;3\right]$$\Rightarrow$(3) sai

Câu 24: Đáp án B

$\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{1}{x^3-1}-\frac{1}{x-1}\right)\\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{1}{x-1}\right)\\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\right)\\ =\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{-x^2-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{c}\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=+\infty \\ \underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(-x^2-x\right)=-2\end{array}$

Suy ra: $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{-x^2-x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=-\infty$

Câu 25: Đáp án C