Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết ) – Chương 5 – Đề số 4 – Đại số và giải tích 11

 Đề bài

Câu 1: Số gia của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}$ứng với số gia $\Delta x$của đối số x tại $x_0=-1$ là?

A. $\frac{1}{2}(\Delta x{)}^2-\Delta x$                         

B. $\frac{1}{2}[(\Delta x{)}^2-\Delta x]$ 

C. $\frac{1}{2}[(\Delta x{)}^2+\Delta x]$

D. $\frac{1}{2}(\Delta x{)}^2+\Delta x$

Câu 2: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1-x}{2x+1}$thì $f^{\prime }(-\frac{1}{2})$có kết quả nào sau đây:

A.Không xác định               

B.  – 3                                 

C. 3                                     

D. 0

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số $y=(x^2+1)(5-3x^2)$

A. $y^{\prime }=-x^3+4x$       

B. $y^{\prime }=-x^3-4x$        

C. $y^{\prime }=12x^3+4x$      

D. $y^{\prime }=-12x^3+4x$

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số sau: $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}$

A. $\frac{x^2-2x}{{(x-1)}^2}$                          

B. $\frac{x^2+2x}{{(x-1)}^2}$                         

C. $\frac{x^2+2x}{{(x+1)}^2}$                        

D. $\frac{-2x^2-2}{{(x-1)}^2}$

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{1}{x\sqrt{x}}$

A. $y^{\prime }=\frac{3}{2}\frac{1}{x^2\sqrt{x}}$                  

B. $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2\sqrt{x}}$                                

C. $y^{\prime }=\frac{1}{x^2\sqrt{x}}$                                   

D. $y^{\prime }=-\frac{3}{2}\frac{1}{x^2\sqrt{x}}$

Câu 6: Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^3}{x-1}$ Tập nghiệm của phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$là:

A. $\left\{0;\frac{2}{3}\right\}$                                   

B. $\left\{-\frac{2}{3};0\right\}$                                

C. $\left\{0;\frac{3}{2}\right\}$                                    

D. $\left\{-\frac{3}{2};0\right\}$

Câu 7: Cho hàm số $y=\frac{3}{1-x}$ Để $y^{\prime }<0$thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây ?

A.1                                      

B. 3                                     

C. $\varnothing$                  

D. R

Câu 8: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\tan \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)$ Giá thị $f^{\prime }\left(0\right)$bằng:

A.4                                      

B. $\sqrt{3}$                       

C. $-\sqrt{3}$                     

D. 3

Câu 9: Hàm số  $y=-\frac{3}{2}\sin 7x$có đạo hàm là

A. $-\frac{21}{2}\cos x$

B. $-\frac{21}{2}\cos 7x$   

C. $\frac{21}{2}\cos 7x$ 

D. $\frac{21}{2}\cos x$

Câu 10: Cho hàm số $y=\frac{x^2+x+1}{x-1}$ Vi phân của hàm số là

A. $dy=-\frac{x^2-2x-2}{{(x-1)}^2}dx$    

B. $dy=\frac{2x+1}{{(x-1)}^2}dx$

C. $dy=-\frac{2x+1}{{(x-1)}^2}dx$                    

D. $dy=\frac{x^2-2x-2}{{(x-1)}^2}dx$

Câu 11: Hàm số $y=(2x+5{)}^5$có đạo hàm cấp 3 bằng

A. $y^{\prime \prime \prime }=80(2x+5{)}^3$  

B. $y^{\prime \prime \prime }=480(2x+5{)}^2$  

C. $y^{\prime \prime \prime }=-480(2x+5{)}^2$       

D. $y^{\prime \prime \prime }=-80(2x+5{)}^3$

Câu 12: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=t^3-3t^2$( t tính bằng giây; s tính bằng mét). Khẳng định nào sau đây đúng?

A.Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là $a=18m/s^2$

B.Gia tốc của chuyển động khi t = 4s là $a=9m/s^2$

C. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là $v=12m/s$

D. Vận tốc của chuyển động khi t = 3s là $v=24m/s$

Câu 13: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f\left(x\right)=x^3-2x^2+3x$tại điểm có hoành độ $x_0=-1$là

A. $y=10x+4$                  

B. $y=10x-5$                    

C. $y=2x-4$                      

D. $y=2x-5$

Câu 14: Cho hàm số $y=x^3-3x+1\left(C\right)$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết tung độ tiếp điểm bằng 3

A. $y=9x-1;y=3$          

B. $y=9x-4;y=3$

C. $y=9x-3;y=3$        

D. $y=9x-15;y=3$

Câu 15: Cho hàm số $y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}\left(C\right)$.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến  của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $d:3y-x+6=0$

A. $y=-3x-3;y=-3x-11$ 

B. $y=-3x-3;y=-3x+11$

C. $y=-3x+3;y=-3x-11$  

D. $y=-3x-3;y=3x-11$

Câu 16: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : $y=2x^4-4x^2+1$biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=48x-1$

A. $y=48x-9$                   

B. $y=48x-7$                    

C. $y=48x-10$                  

D. $y=48x-79$

Câu 17: Đạo hàm của hàm số $y=\sin 2x$là:

A. $y^{\prime }=\cos 2x$                   

B. $-\cos 2x$

C. $2\cos 2x$                        

D. $-2\cos 2x$

Câu 18: Đạo hàm cấp 4 của hàm số $y=\sin 5x.\sin 3x$là :

A. $y^{\left(4\right)}=-2048\cos 8x+8\cos 2x$  

B. $y^{\left(4\right)}=2048\cos 8x-8\cos 2x$

C. $y^{\left(4\right)}=1024\cos 16x+4\cos 4x$

D. $y^{\left(4\right)}=2048\cos 8x-4\cos 4x$

Câu 19 : Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{c}\sqrt{x}khix>1\\ x^{2}khix\le 1\end{array}$ Tính $f^{\prime }\left(1\right)$?

A. $\frac{1}{2}$                                            

B. 1                                        

C. 2                            

D. Không tồn tại.

Câu 20: Xét hai hàm số: $\left(I\right):f\left(x\right)=\left|x\right|x,\left(II\right):g\left(x\right)=\sqrt{x}$. Hàm số có đạo hàm tại x = 0 là:

A. Chỉ (I)                               

B. Chỉ II                                 

C. Chỉ I và II             

D. Cả I và II

Câu 21: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $s=t^3-2t^2+4t+1$trong đó t là giây, s là mét. Gia tốc chuyển động khi t = 2 là:

A. $12m/s^2$                               

B. $8m/s^2$                                 

C. $7m/s^2$                                 

D. $6m/s^2$

Câu 22 : Cho hàm số $y=x^3+3x^2+1$có đồ thị $\left(C\right)$ Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $A\left(1;5\right)$và $B$là giao điểm thứ hai của $d$ với $\left(C\right)$ Tính diện tích tam giác $OAB$?

A. $12$                                              

B. $6$                                    

C. $18$                                              

D. $24$

Câu 23 : Cho hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x^2+1$ Đạo hàm của hàm số f(x) âm khi và chỉ khi

A. $0<x<2$                                   

B. $x<1$                  

C. $x<0$ hoặc $x>1$                    

D. $x<0$ hoặc $x>2$

Câu 24 : Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$tại giao điểm với trục tung cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là?

A. $x=-1$                          

B. $x=1$                              

C. $x=-2$                          

D. $x=2$

Câu 25 : Tiếp tuyến của đường cong $\left(C\right):y=x\sqrt{x}$tại điểm $M\left(1;1\right)$có phương trình là:

A. $y=\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$              

B. $y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$                       

C. $y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$               

D. $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$

Lời giải chi tiết

1	2	3	4	5
A	A	D	A	D
6	7	8	9	10
C	C	A	B	D
11	12	13	14	15
B	A	A	D	A
16	17	18	19	20
D	C	A	D	A
21	22	23	24	25
B	A	A	D	C

Câu 1: Đáp án A

Câu 2: Đáp án A

$f\left(x\right)=\frac{1-x}{2x+1}$  có TXD là $x\ne \frac{1}{2}$ nên $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)$ không xác định

Câu 3: Đáp án D

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\left(x^2+1\right)\left(5-3x^2\right)+\left(x^2+1\right){\left(5-3x^2\right)}^{\prime }\\ =2x\left(5-3x^3\right)-6x\left(x^2+1\right)=-12x^3+4x\end{array}$

Câu 4: Đáp án A

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{{\left(x^2-x+1\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x^2-x+1\right){\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}\\ =\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}\\ =\frac{2x^2-3x+1-x^2+x+1}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x}{{\left(x-1\right)}^2}\end{array}$

Câu 5: Đáp án D

$y^{\prime }=\frac{-\left(x\sqrt{x}\right)}{{\left(x\sqrt{x}\right)}^2}=-\frac{x^{\prime }\left(\sqrt{x}\right)+x{\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }}{x^3}$$=-\frac{\sqrt{x}+\frac{x}{2\sqrt{x}}}{x^3}=-\frac{3x}{2x^3\sqrt{x}}=-\frac{3}{2x^2\sqrt{x}}$

Câu 6: Đáp án C

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(x^3\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-x^3{\left(x-1\right)}^{\prime }}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{3x^2\left(x-1\right)-x^3}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{2x^3-3x^2}{{\left(x-1\right)}^2}\\ f^{\prime }\left(x\right)=0\iff \frac{2x^3-3x^2}{{\left(x-1\right)}^2}=0\\ \iff 2x^3-3x^2=0\\ \iff x\left(2x^3-3x\right)=0\\ \iff x=0\text{hoặc}x=\frac{3}{2}\end{array}$

Câu 7: Đáp án C

$y^{\prime }=\frac{3{\left(1-x\right)}^{\prime }}{1-x}=\frac{3}{{\left(1-x\right)}^2}$ vì ${\left(1-x\right)}^2\ge 0$ với mọi x nên $y^{\prime }\ge 0$ với mọi x

Câu 8: Đáp án A

$y^{\prime }=f^{\prime }\left(x\right)={\left[\tan \left(x-\frac{2\pi }{3}\right)\right]}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2\left(x-\frac{2\pi }{3}\right)}$

$f^{\prime }\left(0\right)=\frac{1}{{\cos }^2\left(0-\frac{2\pi }{3}\right)}=\frac{1}{{\cos }^2\left(-\frac{2\pi }{3}\right)}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$

Câu 9: Đáp án B

$y^{\prime }=\left(-\frac{3}{2}\sin 7x\right)=-\frac{3}{2}7\cos 7x=-\frac{21}{2}\cos 7x$

Câu 10: Đáp án D

$\begin{array}{c}dy=y^{\prime }dx=\left(\frac{x^2+x+1}{x-1}\right)dx\\ =\frac{{\left(x^2+x+1\right)}^{\prime }\left(x-1\right)-\left(x^2+x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}dx\\ =\frac{\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-\left(x^2+x+1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}dx=\frac{\left(x^2-2x-2\right)}{{\left(x-1\right)}^2}dx\end{array}$

Câu 11: Đáp án B

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=10{\left(2x+5\right)}^4\\ y^{\prime \prime }=80{\left(2x+5\right)}^3\\ y^{\prime \prime \prime }=480{\left(2x+5\right)}^2\end{array}$

Câu 12: Đáp án A

Ta có $v=s^{\prime }={\left(t^3-3t^2\right)}^{\prime }=3t^2-6t$

Với t = 3 thì $v={3.3}^2-6.3=9\left(m/s\right)$

$a=s^{\prime \prime }={\left(3t^2-6t\right)}^{\prime }=6t-6$

Với t = 4 thì $a=6.4-6=18\left(m^2/s\right)$

Câu 13: Đáp án A

Ta có x₀ = 1 khi đó $f\left(x_0\right)=x_0^3-2x_0^2+3x_0=(-1)-2-3=-6$

$f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4x+3$ khi đó $f^{\prime }(-1)=3(-1{)}^2-4(-1)+3=10$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  $f\left(x\right)=x^3-2x^2+3x$ tại điểm có tọa độ x₀ = -1 là:

$y=f^{\prime }\left(-1\right).\left(x+1\right)-6=10\left(x+1\right)-6=10x+4$

Câu 14: Đáp án D

Ta có y = 3 suy ra $x^3-3x+1=3\iff x^3-3x-2=0\iff x=-1$ hoăc $x=2$

Ta có $y^{\prime }=3x^2-3$

Với x = -1có $y^{\prime }(-1)=3.(-1{)}^2-3=0$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1\left(C\right)$ có x = -1 là:

$y=0\left(x+1\right)+3=3$

Với x = 2 có $y^{\prime }\left(2\right)=3.{\left(2\right)}^2-3=9$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x+1\left(C\right)$có x = 2 là:

$y=9\left(x-2\right)+3=9x-15$

Câu 15: Đáp án A

$\begin{array}{c}\left(C\right):y=\frac{x^2+3x+3}{x+2}\\ d+3y-x+6=0\end{array}$

Ta có: $\left(C\right):y={\left(\frac{x^2+3x+3}{x+2}\right)}^{\prime }=\frac{x^2+4x+3}{{(x+2)}^2}$

Đường thẳng  d:3y – x + 6 = 0 có hệ số góc $k_1=\frac{1}{3}$

Vì tiếp tuyến của (C) vuông góc với d nên có hệ số góc k = - 3

Ta có: $y^{\prime }\left(x_0\right)=-3\iff \frac{x_0^2+4x_0+3}{{\left(x_0+2\right)}^2}=-3\iff x_0^2+4x_0+3=-3{\left(x_0+2\right)}^2$

Câu 16: Đáp án D

$\begin{array}{c}\left(C\right):y=2x^4-4x^2+1\\ dt:y=48x-1\end{array}$

Ta có $y^{\prime }=8x^3-8x$

Đường thẳng y = 48x - 1 có hệ số góc k = 48

Vì tiếp tuyến của (C) song song với d nên có hệ số góc k = 48

Ta có: y’(x₀) = 48 $8x^3-8x=48\iff x^3-x-6=0\iff \left(x-2\right)\left(x^2+2x+3\right)=0\iff x=2$

Khi đó $y\left(2\right)={2.2}^4-{4.2}^2+1=17$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) : $y=2.x^4-4.x^2+1$ là

$y=48\left(x+2\right)+17=48x-79$

Câu 17: Đáp án C

$y^{\prime }=(\sin 2x{)}^{\prime }=2\cos 2x$

Câu 18: Đáp án A

Ta có  $y=0(x-3)-4=-4$   

$\begin{array}{c}{y}^{\prime }=\frac{1}{2}{\left(\sin 8x-\sin 2x\right)}^{\prime }=-4\cos 8x+\cos 2x\\ y^{\prime \prime }={\left(-4\cos 8x+\cos 2x\right)}^{\prime }=32\sin 8x-2\sin 2x\\ y^{\prime \prime \prime }={\left(32\sin 8x-2\sin 2x\right)}^{\prime }=256\cos 8x-4\cos 2x\\ y^{\prime \prime \prime \prime }={\left(256\cos 8x-4\cos 2x\right)}^{\prime }=-2048\cos 8x+8\cos 2x\end{array}$

Câu 19: Đáp án D

Đạo hàm bên phải của hàm số tại điểm $x_0=1$ ta có

$f^{\prime }\left(1^{+}\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}-1^2}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{1}{\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{1}{2}$

Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm  ta có

$f^{\prime }\left(1^{-}\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\left(x+1\right)}{1}=2$

Ta thấy  $f^{\prime }\left(1^{+}\right)\ne f^{\prime }\left(1^{-}\right)$. Vậy không tồn tại đạo hàm của hàm số tại x₀ = 1

Câu 20: Đáp án A

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\left(\left|x\right|x^{\prime }\right)={\left(\sqrt{x^2}x\right)}^{\prime }\\ =\frac{1}{2\sqrt{x^2}}2x.x+\sqrt{x^2}\\ =\frac{x^2}{\sqrt{x^2}}+\sqrt{x^2}=\frac{2x^2}{\sqrt{x^2}}=2\frac{x^2}{\sqrt{x^2}}\\ f^{\prime }\left(0\right)=2\sqrt{0^2}=0\\ g^{\prime }\left(x\right)={\left(\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}\end{array}$

$g^{\prime }\left(0\right)=\frac{1}{2\sqrt{0}}$ không xác định

Câu 21: Đáp án B

$\begin{array}{c}{s}^{\prime }={\left(t^3-2t^2+4t+1\right)}^{\prime }=3t^2-4t+4\\ a=s^{\prime \prime }={\left(3t^2-4t+4\right)}^{\prime }=6t-4\end{array}$

Câu 22: Đáp án A

Ta có :

$\begin{array}{c}y=x^3+3x^2+1\Rightarrow y^{\prime }=3x^2+6x\\ \Rightarrow y^{\prime }\left(1\right)={3.1}^2+6.1=9\end{array}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  là

  y = 9(x – 1) + 5 hay y = 9x - 4

Xét phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến và hàm số $y=x^3+3x^2+1$

$x^3+3x^2+1=9x-4$

$\iff x^3+3x^2-9x+5=0$

$\iff {\left(x-1\right)}^2\left(x+5\right)$

$\iff x=1$ hoặc $x=-5$

Khi đó B (-5,-49)

$\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}\left(-6;-54\right)=-6\left(1;9\right)\\ AB=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-54\right)}^2}=6\sqrt{82}\end{array}$

Đường thẳng AB có nhận $\overrightarrow{n}\left(9;-1\right)$  là 1 véc tơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng AB là:

$\begin{array}{c}9\left(x-1\right)-1\left(y-5\right)=0\\ \iff 9x-y-4=0\end{array}$

Khoảng cách từ O đến đường thẳng AB là:

$d\left(O,AB\right)=\frac{|9.0-0-4|}{\sqrt{9^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{82}}$

Diên tích tam giác OAB là:

 

$S_{OAB}=\frac{1}{2}.d\left(O,AB\right).AB=\frac{1}{2}\frac{4}{\sqrt{82}}.6\sqrt{82}=12\left(dvdt\right)$

Câu 23: Đáp án A

$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)={\left(x^3-3x^2+1\right)}^{\prime }=3x^2-6x\\ f^{\prime }\left(x\right)<0\iff 3x^2-6x<0\iff 3x(x-2)<0\iff 0<x<2\end{array}$

Câu 24: Đáp án D

$\begin{array}{c}y=\frac{x+2}{x+1}\Rightarrow y^{\prime }=\left(\frac{x+2}{x+1}\right)=\frac{-1}{{\left(x+1\right)}^2}\\ y^{\prime }\left(0\right)=\frac{-1}{{\left(0+1\right)}^2}=-1;y\left(0\right)=\frac{0+2}{0+1}=2\end{array}$

 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{x+1}$ tại x = 0 là

y = -1(x – 0) + 2 = -x + 2

Trục hoành có phương trình: y=0

Giao điểm của tiếp tuyến và trục hoành là nghiệm của phương trình

$-x+2=0\Rightarrow x=2$

Câu 25: Đáp án C

$\left(C\right):y=x\sqrt{x}\Rightarrow y^{\prime }={\left(x\sqrt{x}\right)}^{\prime }=\frac{3x}{2\sqrt{x}}$

Ta có

$y^{\prime }\left(1\right)=\frac{3.1}{2.\sqrt{1}}=\frac{3}{2}$

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) là

$y=\frac{3}{2}\left(x-1\right)+1=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$