Kiểm tra toán lớp 10 học kì 2 đề 2

 Đề 2 : Đề kiểm tra toán lớp 10 học kì 2.

Hướng dẫn

Bảng đáp án trắc nghiệm 

Đán án chi tiết trắc nghiệm :

Câu 1 (NB)

Phương pháp:

Quan hệ lượng giác giữa các cung đặc biệt.

Cách giải:

Ta có: $\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \Rightarrow$ D sai.

Chọn D.

Câu 2 (NB)

Phương pháp:

Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Cách giải:

$-4x+16\le 0\iff 4x\ge 16\iff x\ge 4.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[4;+\infty \right).$

Chọn A.

Câu 3 (TH)

Phương pháp:

Dựa vảo bảng xét dấu để nhận xét dấu của biểu thức cần tìm rồi chọn đáp án đúng.

Cách giải:

Từ bảng xét dấu ta suy ra: $\{\begin{array}{c}f\left(x\right)=0\iff x=2\\ f\left(x\right)>0\iff x<2\\ f\left(x\right)<0\iff x>2\end{array}.$

Vậy đó là bảng xét dấu của biểu thức $f\left(x\right)=16-8x.$

Chọn B.

Câu 4 (TH)

Phương pháp:

Đường cao của tam giác $ABC$  kẻ từ $A$ sẽ nhận $\overrightarrow{BC}$ là một VTPT.

Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M\left(x_0;y_0\right)$ và có VTPT $\overrightarrow{n}=\left(A;B\right)$ có dạng: $A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0.$

Cách giải:

Đường cao của $\Delta ABC$ kẻ từ $A\left(1;2\right)$ sẽ nhận $\overrightarrow{BC}\left(2;3\right)$ là một VTPT nên đường cao đó có phương trình là: $2\left(x-1\right)+3\left(y-2\right)=0$

$\iff 2x+3y-8=0.$

Chọn B.

Câu 5 (TH)

Phương pháp:

Giải bất phương trình bằng cách đưa về phương trình tích và sử dụng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Cách giải:

$\begin{array}{c}2\left(x-2\right)\left(x-1\right)\le x+13\\ \iff 2x^2-6x+4\le x+13\\ \iff 2x^2-7x-9\le 0\\ \iff \left(x+1\right)\left(2x-9\right)\le 0\\ \iff -1\le x\le \frac{9}{2}.\end{array}$

Chọn A.

Câu 6 (VD)

Phương pháp:

Ta có: $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c<0,$ $\left(a\ne 0\right)\forall x\in R$

$\iff \{\begin{array}{c}\Delta <0\\ a<0\end{array}.$

Cách giải:

$\left(m-3\right)x^2-2mx+m-6<0(\ast )$

Với $m=3$ ta có:  $(\ast )\iff -6x-3<0\iff x>-\frac{1}{2},$ không thỏa mãn.

Với $m\ne 3,$ để bất phương trình: $\left(m-3\right)x^2-2mx+m-6<0$ có tập nghiệm là $R$

$\begin{array}{c}\iff \{\begin{array}{c}{\Delta }^{\prime }=m^2-\left(m-3\right)\left(m-6\right)<0\\ m-3<0\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}{m}^2-m^2+9m-18<0\\ m<3\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}9m-18<0\\ m<3\end{array}\iff \{\begin{array}{c}m<2\\ m<3\end{array}\\ \iff m<2.\end{array}$

Chọn B.

Câu 7 (TH)

Phương pháp:

Elip $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có độ dài trục lớn là $2a,$ độ dài tiêu cự là $2c=2\sqrt{a^2-b^2}.$

Cách giải:

$\left(E\right):\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ có $a=\sqrt{5};b=2.$

$\Rightarrow$ Độ dài trục lớn là:$2a=2\sqrt{5}.$

$\Rightarrow$ Độ dài tiêu cự là: $2c=2\sqrt{a^2-b^2}=2\sqrt{5-4}=2.$

Vậy tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn là: $\frac{2}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Chọn C.

Câu 8 (NB)

Phương pháp:

Đường tròn $\left(C\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ có tâm $I\left(a;b\right)$ và bán kính $R.$

Cách giải:

$\left(C\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=25$

$\Rightarrow I\left(2;-3\right),R=5.$

Chọn A.

Câu 9 (TH)

Phương pháp:

Cosin của góc giữa hai đường thẳng $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ là:

$\cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}.\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}.$

Cách giải:

Ta có: $d_1:x+2y+4=0$ có VTPT $\overrightarrow{n_1}=\left(1;2\right)$ và $d_2:x-3y+6=0$ có VTPT là: $\overrightarrow{n_2}=\left(1;-3\right).$

$\Rightarrow \cos \left(d_1,d_2\right)=\frac{\left|1.1+2.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy góc giữa hai đường thẳng $d_1:x+2y+4=0$ và $d_2:x-3y+6=0$ là ${45}^{\circ }.$

Chọn C.

Câu 10 (NB)

Phương pháp:

Đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\end{array}$ nhận $\overrightarrow{u}\left(a,b\right)$ là một vectơ chỉ phương.

Cách giải:

Vectơ $\overrightarrow{u}\left(3;-1\right)$là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\{\begin{array}{c}x=2+3t\\ y=-3-t\end{array}$

Chọn B.

Câu 11 (TH)

Phương pháp:

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn.

Cách giải:

Gọi tam giác đó đã cho là: $\Delta ABC\left(AB=3,BC=8,CA=9\right)$.

Góc lớn nhất của $\Delta ABC$ là  $\angle B$ do $CA$ là cạnh lớn nhất.

Áp dụng định lý hàm số cos trong $\Delta ABC$ ta có:

$C{A}^2=A{B}^2+B{C}^2-2.AB.BC.\cos B$ $\Rightarrow \cos B=\frac{9+64-81}{\mathrm{2.3.8}}=-\frac{1}{6}.$

Chọn C.

Câu 12 (TH)

Phương pháp:

Hai đường thẳng: $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ vuông góc với nhau

$\iff \overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0\iff a_1{a}_2+b_1{b}_2=0.$

Cách giải:

${\Delta }_1:\left(2m-1\right)x+my-10=0$ vuông góc với đường thẳng ${\Delta }_2:3x+2y+6=0$

$\iff \left(2m-1\right).3+m.2=0$ $\iff 6m-3+2m=0\iff m=\frac{3}{8}.$

Chọn D.

Câu 13 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Cách giải:

Gọi hai cạnh của hình chữ nhật là $a$ và $b$ (đơn vị: mét, $0<a,b<100$).

Giả sử cạnh không phải rào là cạnh  $b.$

Vậy số rào cần dùng là $2a+b=100\left(m\right).$

Diện tích hình chữ nhật là: $ab\left(m^2\right).$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số $2a,b$ dương ta có:

$100=2a+b\ge 2\sqrt{2ab}\iff \sqrt{2ab}\le 50$

$\iff ab\le 1250$

Dấu “=” xảy ra $\iff \{\begin{array}{c}2a=b\\ 2a+b=100\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=25\left(tm\right)\\ b=50\left(tm\right)\end{array}.$

Vậy diện tích lớn nhất có thể rào là $1250m^2$, khi $a=25m,b=50m.$ 

Chọn D.

Câu 14 (VD)

Phương pháp:

Tìm tâm và bán kính của đường tròn $\left(C\right).$

Vì $A$ là trung điểm của $MN$ suy ra $IA\perp MN.$

Cách giải:

$\left(C\right):x^2+y^2+6x-2y+5=0$$\iff \left(C\right):{\left(x+3\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=5$

$\Rightarrow$ Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(-3;1\right)$ và bán kính $R=\sqrt{5}.$

Có $\overrightarrow{IA}\left(-1;1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}<\sqrt{5}=R$ nên điểm $A$ nằm trong đường tròn.

Vì $A$  là trung điểm của $MN\Rightarrow IA\perp MN.$

Đường thẳng $MN$ đi qua $A\left(-4;2\right)$ và nhận $\overrightarrow{IA}\left(-1;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$-1\left(x+4\right)+1\left(y-2\right)=0$

$\iff -x+y-6=0$ $\iff x-y+6=0.$

Chọn C.

Câu 15 (TH)

Phương pháp:

Tam thức bậc hai $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c>0\forall x$$\iff \{\begin{array}{c}a>0\\ \Delta <0\end{array}.$

Hoặc biến đổi các biểu thức ở đáp án rồi chọn đáp án đúng.

Cách giải:

+) Xét đáp án A: $a^2-2a+1={\left(a-1\right)}^2\ge 0\forall x\Rightarrow$ loại A.

+) Xét đáp án B: $a^2+a+1={\left(a+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0,\forall a\in R.$

Chọn B.

Câu 16 (TH)

Phương pháp:

Phương trình đường tròn tâm $I\left(a;b\right)$ và đi qua điểm $M$ có bán kính là $R=IM,$ có phương trình: ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=I{M}^2.$

Cách giải:

 Đường tròn $\left(C\right)$ có tâm $I\left(1;3\right)$ có phương trình là: ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=R^2.$

$\left(C\right)$ đi qua điểm $M\left(3;1\right)\Rightarrow {\left(3-1\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2=R^2$$\Rightarrow R^2=8.$

Vậy $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=8.$

Chọn A.

Câu 17 (VD)

Phương pháp:

Với điều kiện $x>1$ ta có: $\frac{x}{2},\frac{2}{x-1}$ là các số dương. Biến đổi các biểu thức đã cho và áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Cách giải:

Ta có: $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}=\left(\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}\right)+\frac{1}{2}$

Với $x>1$ ta có: $\frac{x-1}{2},\frac{2}{x-1}$ là các số dương.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{x-1}{2},\frac{2}{x-1}$  ta có:

 $\begin{array}{c}\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}\ge 2\sqrt{\frac{x-1}{2}.\frac{2}{x-1}}=2\\ \Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x-1}{2}+\frac{2}{x-1}+\frac{1}{2}\ge 2+\frac{1}{2}\\ \iff f\left(x\right)\ge \frac{5}{2}.\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{x-1}{2}=\frac{2}{x-1}\iff {\left(x-1\right)}^2=4$ $\iff [\begin{array}{c}x-1=2\\ x-1=-2\end{array}\iff [\begin{array}{c}x=3\left(tm\right)\\ x=-1\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+\frac{2}{x-1}$ với $x>1$ là $\frac{5}{2}$ khi $x=3.$

Chọn D.

Câu 18 (TH)

Phương pháp:

Cho điểm $M\left(x_0;y_0\right)$ và đường thẳng $d:ax+by+c=0$ ta có: $d\left(M;d\right)=\frac{\left|a{x}_0+b{y}_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Cách giải:

Ta có: $d\left(M,\Delta \right)=\frac{\left|2.2+3.\left(-3\right)-7\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{12}{\sqrt{13}}.$

Chọn C.

Câu 19 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng hàm số cosin trong tam giác.

Cách giải:

Áp dụng định lý hàm số cos trong $\Delta ABC$ ta có:

$\begin{array}{c}B{C}^2\\ =A{B}^2+A{C}^2-2AB.AC.\cos A\\ =36+100-\mathrm{2.6.10.}\cos {60}^{\circ }=76.\\ \Rightarrow BC=2\sqrt{19}.\end{array}$

Chọn A.

Câu 20 (NB)

Phương pháp:

Sử dụng quan hệ lương giác giữa các cung đặc biệt.

Cách giải:

Ta có: $\angle A,\angle B,\angle C$ là ba góc trong $\Delta ABC\Rightarrow \angle A+\angle B+\angle C={180}^0$

$\Rightarrow \cos \left(A+C\right)=\cos \left(180-B\right)$$=-\cos B.$

Chọn A.

Câu 21 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Cách giải:

Ta có: $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha >0.$

Có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$$=\sqrt{1-\frac{16}{169}}=\frac{3\sqrt{17}}{13}.$

Chọn C.

Câu 22 (TH)

Phương pháp:

Chu vi tam giác $ABC$ là: $AB+BC+CA.$

Sử dụng định lý hàm số sin để tính các cạnh của $\Delta ABC.$

Cách giải:

Ta có: $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}=\frac{CA}{\sin B}$$\Rightarrow \{\begin{array}{c}BC=\frac{\sin A}{\sin C}.AB\\ CA=\frac{\sin B}{\sin C}.AB\end{array}$ $\Rightarrow \{\begin{array}{c}BC=2.6=12\\ CA=\frac{4}{3}.6=8\end{array}$$\Rightarrow AB+BC+CA=26.$

Chọn A.

Câu 23 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng công thức: $\sin 2\alpha =2\sin \alpha .\cos \alpha .$

Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{c}\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{5}{4}\\ \iff {\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}^2=\frac{25}{16}\\ \Rightarrow 1+2\sin \alpha .\cos \alpha =\frac{25}{16}\\ \Rightarrow 1+\sin 2\alpha =\frac{25}{16}\Rightarrow \sin 2\alpha =\frac{9}{16}.\end{array}$

Chọn D.

Câu 24 (TH)

Phương pháp:

Giải bất phương trình trình bằng quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai.

Cách giải:

Điều kiện: $x\ne \frac{2}{3}.$

$\begin{array}{c}\frac{2-x}{3x-2}\ge 1\iff \frac{2-x}{3x-2}-1\ge 0\\ \iff \frac{2-x-3x+2}{3x-2}\ge 0\iff \frac{-4x+4}{3x-2}\ge 0\\ \iff \frac{x-1}{3x-2}\le 0\iff \frac{2}{3}<x\le 1.\end{array}$

Chọn D.

Câu 25 (TH)

Phương pháp:

Tìm vectơ pháp tuyến sau đó viết phương trình đường thẳng.

Cách giải:

$A\left(2;1\right)$ và $B\left(-1;-3\right)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\left(-3;-4\right)\Rightarrow AB$ nhận $\overrightarrow{n}\left(4;-3\right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là: $4\left(x-2\right)-3\left(y-1\right)=0$$\iff 4x-3y-5=0.$

Chọn B.

Câu 26 (TH)

Phương pháp:

Elip $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ có độ dài trục lớn bằng $2a$ , độ dài trục nhỏ bằng $2b.$

Cách giải:

Độ dài trục lớn của elip là $8\Rightarrow 2a=8\iff a=4.$

Độ dài trục lớn của elip là $6\Rightarrow 2b=6\iff b=3.$

Phương trình chính tắc của elip đã cho là: $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\iff \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1.$

Chọn C.

Câu 27 (TH)

Phương pháp:

Sử dụng các công thức: $\{\begin{array}{c}\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin 2a=2\sin a\cos a\end{array}.$

Cách giải:

$\begin{array}{c}P=\frac{\cos a-\cos 5a}{\sin 4a+\sin 2a}=\frac{-2\sin 3a.\sin \left(-2a\right)}{2\sin 3a.\cos a}\\ =\frac{-\sin \left(-2a\right)}{\cos a}=\frac{\sin 2a}{\cos a}=\frac{2\sin a.\cos a}{\cos a}\\ =2\sin a.\end{array}$

Chọn D.

Câu 28 (VD)

Phương pháp:

Chia các trường hợp $m>0,m<0,m=0$ để biện luận bất phương trình sau đó kết hợp nghiệm.

Cách giải:

Ta có: $\left|x\right|<8\iff -8<x<8.$

$mx+4>0\left(1\right).$

Với $m>0\Rightarrow \left(1\right)\iff x>\frac{-4}{m}.$

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thỏa mãn $-8<x<8$ thì $\frac{-4}{m}\le -8\iff m\le \frac{1}{2}.$

Vậy $0<m\le \frac{1}{2}$ thỏa mãn.

Với $m<0\Rightarrow \left(1\right)\iff x<\frac{-4}{m}.$

Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x$ thỏa mãn $-8<x<8$ thì $\frac{-4}{m}\ge 8\iff m\ge -\frac{1}{2}.$

Vậy $-\frac{1}{2}\le m<0$ thỏa mãn.

Với $m=0\Rightarrow$ $\left(1\right)\iff 4>0,$ luôn đúng với mọi $x.$ Thỏa mãn.

Vậy tập hợp tất cả các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài là $\left[\frac{-1}{2};\frac{1}{2}\right].$

Chọn A.

Câu 29 (VD)

Phương pháp:

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy.

Cách giải:

Vì $a,b>0$ nên điểm $A$ nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Tam giác OAB cân và điểm B có hoành độ dương nên điểm B đối xứng với điểm A qua trục hoành, hay $B\left(a;-b\right).$

Diện tích tam giác OAB là: $\frac{1}{2}.a.2b=ab.$

Vì A thuộc elip nên: $\frac{a^2}{4}+b^2=1.$

Theo Cauchy ta có: $\frac{a^2}{4}+b^2\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{4}.b^2}=ab\Rightarrow ab\le 1.$

Vậy diện tích tam giác OAB lớn nhất là $1$  khi $a=\sqrt{2},b=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Vậy khi đó $ab=1.$

Chọn C.

Câu 30 (TH)

Phương pháp:

Phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm trái dấu $\iff ac<0.$

Cách giải:

$x^2-2mx-m^2-3m+4=0$

Phương trình có hai nghiệm trái dấu $\iff 1.\left(-m^2-3m+4\right)<0$

$\iff m^2+3m-4>0\iff [\begin{array}{c}m>1\\ m<-4\end{array}.$

Chọn B.

B. PHẦN TỰ LUẬN (4,0 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a) $\sqrt{A}=B\iff \{\begin{array}{c}B\ge 0\\ A=B^2\end{array}.$

b) Quy đồng giải bất phương trình tích.

Cách giải:

Giải phương trình và bất phương trình sau:

a) $\sqrt{x^2+2x-4}=3x-4$

Điều kiện: $x\in \left(-\infty ;-1-\sqrt{5}\right]\cup \left[-1+\sqrt{5};+\infty \right).$

$\sqrt{x^2+2x-4}=3x-4$

$\iff \{\begin{array}{c}3x-4\ge 0\\ x^2+2x-4=9x^2-24x+16\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{4}{3}\\ 8x^2-26x+20=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{4}{3}\\ \left(x-2\right)\left(4x-5\right)=0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{4}{3}\\ [\begin{array}{c}x-2=0\\ 4x-5=0\end{array}\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x\ge \frac{4}{3}\\ [\begin{array}{c}x=2\\ x=\frac{5}{4}\end{array}\end{array}$

$\iff x=2\left(tm\right)$

Vậy $x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) $\frac{x^2+7x}{x^2-3x+2}\ge 1$

Điều kiện: $x\ne 1,x\ne 2.$

$\frac{x^2+7x}{x^2-3x+2}\ge 1\iff \frac{x^2+7x-\left(x^2-3x+2\right)}{x^2-3x+2}\ge 0$$\iff \frac{10x-2}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\ge 0$

Ta có bảng xét dấu: