Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản

 PHẦN 1 : TRẢ LỜI CÂU HỎI

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 18: 

Tìm một giá trị của x sao cho 2sinx –1 = 0.

Lời giải:

Ta có: 2sin x - 1 = 0 => sin x = $\frac{1}{2}$

Do sin$\frac{\pi }{6}$ = $\frac{1}{2}$

=> $\frac{\pi }{6}$ là một giá trị của x thỏa mãn 2sin x – 1 = 0.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 19: Có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = -2 không?

Lời giải:

Theo Bài 1: Hàm số lượng giác, ta đã biết -1 ≤ sin x ≤ 1, mà – 2 < – 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn phương trình sinx = – 2.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 21: Giải các phương trình sau:

a) sin x = $\frac{1}{3}$;

b) sin(x + 450) = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Lời giải:

a) sin x = $\frac{1}{3}$ ⇔ $[\begin{array}{c}x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$

Vây phương trình sin x = $\frac{1}{3}$ có các nghiệm là: $[\begin{array}{c}x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}(k\in Z)$.

b) sin(x + 450) = -$\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ sin(x + 450) = sin(-450)

⇔ $[\begin{array}{c}x+45°=-45°+k360°\\ x+45°=180°-\left(-45°\right)+k360°\end{array}(k\in Z)$

⇔ $[\begin{array}{c}x=-90°+k360°\\ x=180°+k360°\end{array}(k\in Z)$

Vậy phương trình có các nghiệm $[\begin{array}{c}x=-90°+k360°\\ x=180°+k360°\end{array}(k\in Z)$.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 23: Giải các phương trình sau:

a) cos x = $-\frac{1}{2}$;

b) cos x = $\frac{2}{3}$;

c) cos(x + 300) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

a) Vì $\frac{-1}{2}$ = cos$\frac{2\pi }{3}$

nên cos x = $\frac{-1}{2}$ ⇔ cos x = cos $\frac{2\pi }{3}$ ⇔ $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$

Vậy các nghiệm của phương trình là $x=\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in Z$.

b) cos x = $\frac{2}{3}$ => x = $\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in Z$

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\pm \arccos \frac{2}{3}+k2\pi ,k\in Z$.

c) Vì $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = cos300

nên cos(x + 300) = $\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔ cos(x + 300) = cos 300

⇔ x + 300 = ±300 + k3600, k ∈ ℤ

⇔ $[\begin{array}{c}x=k360°\\ x=-60°+k360°\end{array},k\in Z$

Vậy các nghiệm của phương trình là x = k3600; x = -600 + k3600, k ∈ ℤ.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 24: Giải các phương trình sau:

a) tanx = 1;

b) tanx = -1;

c) tanx = 0.

Lời giải:

a) tan x = 1 ⇔ tan x = tan$\frac{\pi }{4}$ ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ.

b) tan x = -1 ⇔ tan x = tan$\left(-\frac{\pi }{4}\right)$ ⇔ x = $-\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ.

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $-\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ.

c) tan x = 1 ⇔ tan x = tan 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.

Vậy các nghiệm của phương trình là x = kπ, k ∈ ℤ.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 26: Giải các phương trình sau:

a) cotx = 1;

b) cotx = -1;

c) cotx = 0.

Lời giải:

a) cot x = 1 ⇔ cot x = cot$\frac{\pi }{4}$ ⇔ x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ.

b) cot x = -1 ⇔ cot x = cot$\left(-\frac{\pi }{4}\right)$ ⇔ x = $-\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $-\frac{\pi }{4}$ + kπ, k ∈ ℤ.

c) cot x = 0 ⇔ cot x = cot$\frac{\pi }{2}$ ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ ℤ.

Bài 1 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) sin(x + 2) = $\frac{1}{3}$;

b) sin 3x = 1;

c) sin$\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)$ = 0;

d) sin(2x + 20o) = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Lời giải:

a) sin(x + 2) = $\frac{1}{3}$

⇔ $\left[\begin{array}{c}x+2=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ x+2=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}\right(k\in Z)$

⇔ $\left[\begin{array}{c}x=\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \\ x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \end{array}\right(k\in Z)$

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi ;x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}-2+k2\pi \left(k\in Z\right)$.

b)  sin 3x = 1

⇔ 3x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π (k ∈ ℤ)

⇔ x = $\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ (k ∈ ℤ)

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ (k ∈ ℤ).

c) sin$\left(\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}\right)$ = 0

⇔ $\frac{2x}{3}-\frac{\pi }{3}=k\pi \left(k\in Z\right)$

⇔ $\frac{2x}{3}=\frac{\pi }{3}+k\pi$

⇔ x = $\frac{\pi }{2}+k\frac{3\pi }{2}(k\in Z)$

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{\pi }{2}+k\frac{3\pi }{2}(k\in Z)$.

d) sin(2x + 20o) = -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

⇔ sin(2x + 20o) = sin(-60o)

⇔ $[\begin{array}{c}2x+20°=-60°+k360°\\ 2x+20°=180°-\left(-60°\right)+k360°\end{array}$

⇔ $\left[\begin{array}{c}x=-40°+k180°\\ x=110°+k180°\end{array}\right(k\in Z)$

Vậy các nghiệm của phương trình là x = -40o + k180o; x = 110o + k180o (k ∈ ℤ).