Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp

PHẦN 1 : TRẢ LỜI CÂU HỎI SGK

 Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 29: Giải các phương trình trong ví dụ 1.

a) 2sinx − 3 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sinx.

b) $\sqrt{3}$ tan x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với tanx.

Lời giải:

a) 2sinx – 3 = 0

⇔ sin x = $\frac{3}{2}$

Phương trình vô nghiệm vì sin x ≤ 1 ≤ $\frac{3}{2}$ với mọi x.

b) $\sqrt{3}$ tan x + 1 = 0

⇔ tan x = $\frac{-\sqrt{3}}{3}$

⇔ tan x = tan $\frac{-\pi }{6}$

⇔ x = $\frac{-\pi }{6}$ + kπ, k ∈ ℤ

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{-\pi }{6}$ + kπ, k ∈ ℤ.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 31: Giải các phương trình sau:

a) 3cos2x − 5cos x + 2 = 0 ;

b) 3tan2x - $2\sqrt{3}$tan x + 3 = 0.

a) 3cos2x – 5cosx + 2 = 0

Đặt cosx = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - 5t + 2 = 0 (1)

Δ = (-5)2 - 4.3.2 = 1

Phương trình (1) có hai nghiệm là: 

t1 = $\frac{-(-5)+\sqrt{1}}{2.3}=\frac{6}{6}$ = 1 (thỏa mãn)

t2 = $\frac{-(-5)-\sqrt{1}}{2.3}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn)

Trường hợp 1: cosx = 1

⇔ x = k2π, k ∈ ℤ

Trường hợp 2: cos x = $\frac{2}{3}$ ⇔ x = ±arccos$\frac{2}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.

Vậy các nghiệm của phương trình là x = ±arccos$\frac{2}{3}$ + k2π, k ∈ ℤ.

b) 3tan2x - $2\sqrt{3}$tan x + 3 = 0.

Đặt tanx = t, ta được phương trình bậc hai theo t:

3t2 - $2\sqrt{3}$tan x + 3 = 0 (1)

∆ = ${(-2\sqrt{3})}^2$ - 4.3.3 = -24 < 0

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 32: Hãy nhắc lại:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản;

b) Công thức cộng;

c) Công thức nhân đôi;

d) Công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.

Lời giải:

a) Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

sin2α  + cos2α = 1

1 + tan2α = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$; α ≠ $\frac{\pi }{2}$ + kπ, k ∈ ℤ

1 + cot2α = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$; α ≠ kπ, k ∈ ℤ

tan α.cot α = 1; α ≠ $\frac{k\pi }{2}$, k ∈ ℤ

b) Công thức cộng:

cos⁡(a - b) = cos⁡a cos⁡b + sin⁡a sin⁡b

cos⁡(a + b) = cos⁡a cos⁡b - sin⁡a sin⁡b

sin⁡(a - b) = sin⁡a cos⁡b - cos⁡a sin⁡b

sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

c) Công thức nhân đôi:

sin⁡2α = 2 sin⁡α cos⁡α

cos⁡2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α

d) Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosacosb = $\frac{1}{2}$[cos(a - b) + cos(a + b)]

sinasinb = $\frac{1}{2}$[cos(a - b) - cos(a + b)]

sinacosb = $\frac{1}{2}$[sin(a - b) + sin(a + b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cos u + cos v = $2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$

cos u - cos v = $-2\sin \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$

sin u + sin v = $2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$

sin u - sin v = $2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}$

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 34: Giải phương trình 3cos2 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0.

Lời giải:

3cos26x + 8sin3xcos3x – 4 =  0

⇔ 3(1 – sin26x) + 4sin 6x – 4 = 0 (áp dụng hằng đẳng thức và công thức nhân đôi)

⇔ –3sin26x + 4sin6x – 1 = 0

Đặt sin 6x = t với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 (*), ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t2 + 4t - 1 = 0 (1)

∆ = 42 - 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

t1 = $\frac{-4+\sqrt{4}}{2\cdot (-3)}=\frac{1}{3}$ (TM)

t2 = $\frac{-4-\sqrt{4}}{2\cdot (-3)}$ = 1 (TM)

Ta có:

Trường hợp 1:

sin6x = $\frac{1}{3}$⇔ $[\begin{array}{c}6x=\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \\ 6x=\pi -\arcsin \frac{1}{3}+k2\pi \end{array}$

⇔ $\left[\begin{array}{c}x=\frac{1}{6}\arcsin \frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\\ x=\frac{\pi }{6}-\frac{1}{6}\arcsin \frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\end{array}\right(k\in Z)$

Trường hợp 2: sin6x = 1

⇔ sin 6x = sin$\frac{\pi }{2}$

⇔ 6x = $\frac{\pi }{2}$ + k2π

⇔ x = $\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, k ∈ ℤ

Vậy nghiệm của phương trình là: x = $\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{3}$, x = $\frac{1}{6}\arcsin \frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}$, x = $\frac{\pi }{6}-\frac{1}{6}\arcsin \frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}\left(k\in Z\right)$.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 35: Dựa vào các công thức cộng đã học:

sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa;

sin(a – b) = sina cosb - sinb cosa;

cos(a + b) = cosa cosb – sina sinb;

cos(a – b) = cosa cosb + sina sinb;

và kết quả $\cos \frac{\pi }{4}=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, hãy chứng minh rằng:

a)  sin x + cos x = $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$;

b) sin x - cos x = $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

Lời giải:

a) sin x + cos x = $\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

Ta có: sin x + cos x = $\sqrt{2}.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)$

= $\sqrt{2}.\left(\sin \frac{\pi }{4}\sin x+\cos \frac{\pi }{4}\cos x\right)$ = $\sqrt{2}.\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ (đpcm)

Cách khác:

$\sqrt{2}\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos x.\cos \frac{\pi }{4}+\sin x.\sin \frac{\pi }{4}\right)$

= $\sqrt{2}.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}.\cos x+\frac{\sqrt{2}}{2}.\sin x\right)$

= $\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\cos x+\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\sin x$

= cosx + sinx (đpcm)

b) sin x - cos x = $\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$

Ta có: sin x - cos x = $\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x\right)$

= $\sqrt{2}.\left(\cos \frac{\pi }{4}\sin x-\sin \frac{\pi }{4}\cos x\right)$

= $\sqrt{2}.\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ (đpcm)

Cách khác:

$\sqrt{2}\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}.\left(sinx.\cos \frac{\pi }{4}-\sin \frac{\pi }{4}.\cos x\right)$

= $\sqrt{2}.\left(\frac{\sqrt{2}}{2}.sinx-\frac{\sqrt{2}}{2}.\cos x\right)$

= $\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\sin x-\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$.cos x

= sinx – cosx (đpcm)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 3 trang 36: Giải phương trình $\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=\sqrt{2}$.

Lời giải:

$\sqrt{3}\sin 3x-\cos 3x=\sqrt{2}$

⇔ $\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 3x-\frac{1}{2}\cos 3x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

⇔ $\cos \frac{\pi }{6}\sin 3x-\sin \frac{\pi }{6}\cos 3x=\sin \frac{\pi }{4}$

⇔ $\sin \left(3x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}$

⇔ $[\begin{array}{c}3x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi }{6}=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi \end{array};k\in Z$

⇔ $[\begin{array}{c}3x=\frac{5\pi }{12}+k2\pi \\ 3x=\frac{11\pi }{12}+k2\pi \end{array};k\in Z$

⇔ $[\begin{array}{c}x=\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\\ x=\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\end{array};k\in Z$

Vậy các nghiệm của phương trình là x = $\frac{5\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}$; x = $\frac{11\pi }{36}+k\frac{2\pi }{3}\left(k\in Z\right)$.

PHẦN 2: GIẢI BÀI TẬP

Bài 2 (trang 36 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx +1 = 0;

b) 2sin 2x + $\sqrt{2}$sin 4x = 0.

Lời giải:

Bài 3 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Bài 4 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) 2sin2x + sinxcosx − 3cos2 x = 0;

b) 3sin2x − 4sinxcosx + 5cos2x = 2;

c) sin2x + sin 2x - 2cos2x = $\frac{1}{2}$;

d) 2cos2x - $3\sqrt{3}$sin 2x - 4sin2x = -4.

Lời giải:

a) 2sin2x + sinx.cosx – 3cos2x = 0 (1)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

Phương trình (1) trở thành: 2 = 0 (loại)

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế của (1) cho cos2x ta được:

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

b) 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2

⇔ 3sin2x – 4sinx.cosx + 5cos2x = 2(sin2x + cos2x)

⇔ sin2x – 4sinx.cosx + 3 cos2x = 0 (1)

+ Xét cosx = 0 ⇒ sin2x = 1.

Phương trình (1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được

Vậy phương trình có tập nghiệm  (k ∈ Z)

+ Xét cos x = 0 ⇒ sin2x = 1 – cos2x = 1

(1) trở thành 1 = 0 (Vô lý).

+ Xét cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos2x ta được:

Bài 5 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

Lời giải:

Bài 6 (trang 37 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a) tan(2x + 1)tan(3x – 1) = 1;

b) tan x + $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ = 1.

Lời giải: