Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 109: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. Chứng minh rằng nếu có một đường thẳng Δ nằm trong (α) và Δ vuông góc với d thì Δ vuông góc với (β)
Lời giải
Δ nằm trong (α) và Δ vuông góc với d ⇒ Δ cắt d tại A
Từ A, vẽ đường thẳng a thuộc (β) và a ⊥ d
Khi đó góc giữa 2 mp (α) và (β) bằng góc giữa hai đường thẳng ∆ và a.
Vì (α) ⊥ (β) nên góc giữa Δ và a là 90° hay Δ ⊥ a
⇒ Δ ⊥ (d,a) hay Δ ⊥ (β)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 109: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc với nhau.
Lời giải
AB ⊥ AC, AB ⊥ AD nên AB ⊥ (AC, AD) hay AB ⊥ (ACD) (theo định lí trang 99)
AB ⊂ (ABC) nên (ABC) ⊥ (ACD) (theo định lí 1 trang 108)
AB ⊂ (ADB) nên (ADB) ⊥ (ACD)
AD ⊥ AC, AD ⊥ AB nên AD ⊥ (AC, AB) hay AD ⊥ (ABC)
AD ⊂ (ADB) nên (ADB) ⊥ (ABC)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 109: Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD.
a) Hãy nêu tên các mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng SB, SC, SD và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b) Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD)
Lời giải
a) SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABCD)
SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAD) ⇒ (SAD) ⊥ (ABCD)
SA ⊥ (ABCD)⇒SA ⊥ BD ⊂(ABCD) và BD ⊥ AC(hai đường chéo hình vuông)
⇒BD ⊥ (SA,AC)⇒BD ⊥ (SAC) mà BD ⊂(ABCD) nên (SAC) ⊥ (ABCD)
b) BD ⊥ (SAC) mà BD ⊂(SBD) nên (SAC) ⊥ (SBD)
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 111: Cho biết mệnh đề nào sau đây là đúng ?
a) Hình hộp là hình lăng trụ đứng
b) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng
c) Hình lăng trụ là hình hộp
d) Có hình lăng trụ không phải là hình hộp
Lời giải
a sai, b đúng, c sai, d đúng
Hình hộp là hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 111: Sáu mặt của hình hộp chữ nhật có phải là những hình chữ nhật không ?
Lời giải
Sáu mặt của hình hộp chữ nhật là những hình chữ nhật
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 112: Chứng minh rằng hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
Lời giải
Xét trường hợp Hình chóp tứ giác đều
Ta có đáy là hình vuông ABCD
Tâm hình vuông ABCD là O (giao điểm 2 đường chéo)
Gọi M là trung điểm BC ⇒ OM // AB hay OM ⊥ BC
Theo định nghĩa hình chóp đều, SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC
⇒ BC ⊥(SO,OM) ⇒ BC⊥(SOM) ⇒ BC⊥SM
Tam giác SBC có SM vừa là đường cao vừa là trung tuyến ⇒ SBC cân tại S
Chứng minh tương tự ⇒ Các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
Trường hợp hình chóp đều khác, chứng minh tương tự
Trả lời câu hỏi Toán 11 Hình học Bài 4 trang 112: Có tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy hay không?
Lời giải
Xét trường hợp AB và CD cắt nhau tại một điểm H.
Ta lấy S trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) kẻ từ H thì rõ ràng (SAB) ⊥ (ABCD) và (SCD) ⊥ (ABCD)
Vậy có tồn tại một hình chóp tứ giác S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SCD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Bài 1 (trang 113 SGK Hình học 11): Cho ba mặt phẳng (α), (β), (γ), những mệnh đề nào sau đây đúng?
a) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) // (γ) thì (β) ⊥ (γ).
b) Nếu (α) ⊥ (β) và (α) ⊥ (γ) thì (β) // (γ).
Lời giải:
a) Đúng.
(α) ⊥ (β) ⇒ ∃ đường thẳng d ⊂ (β) và d ⊥ (α ).
Mà (α ) // (γ)
⇒ d ⊥ (γ)
⇒ (β) ⊥ (γ).
b) Sai, vì hai mặt phẳng (β), (γ) cùng vuông góc với mp(α) có thể song song hoặc cắt nhau.
Bài 2 (trang 113 SGK Hình học 11): Cho hai mặt phẳng (α), (β) vuông góc với nhau. Người ta lấy trên giao tuyến Δ của hai mặt phẳng đó hai điểm A và B sao cho AB = 8cm. Gọi C là một điểm trên (α) và D là một điểm trên (β) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyến Δ và AC = 6cm, BD = 24cm. Tính độ dài đoạn CD.
Lời giải:
Bài 3 (trang 113 SGK Hình học 11): Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (α) tại A. Chứng minh rằng:
a) (ABD) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)
c) HK // BC với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mp(P) đi qua A và vuông góc với DB.
Lời giải:
Bài 4 (trang 114 SGK Hình học 11): Cho hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau và một điểm M không thuộc (α) và (β). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chỉ một mặt phẳng (P) vuông góc với (α) và (β). Nếu (α) // (β) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?
Lời giải:
Bài 5 (trang 114 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (AB'C'D) vuông góc với (BCD'A')
b) Đường thẳng AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BD)
Lời giải:
Bài 6 (trang 114 SGK Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
b) Tam giác SBD là tam giác vuông.
Lời giải:
Bài 7 (trang 114 SGK Hình học 11): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'. Có AB = a, BC= b, CC'= c.
a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ADC'B') vuông góc với mặt phẳng (ABB'A').
b) Tính độ dài đường chéo AC' theo a, b và c.
Lời giải:
Bài 8 (trang 114 SGK Hình học 11): Tính độ dài đường chéo của một hình lập phương cạnh a.
Lời giải:
+ Hình lập phương là hình hộp chữ nhật với a = b = c.
Áp dụng kết quả bài 7b) ta có:
Độ dài đường chéo hình lập phương là:
Bài 9 (trang 114 SGK Hình học 11)): Cho hình hộp tam giác đều S.ABC có SH là đường cao. Chứng minh SA vuông góc với BC và SB vuông góc với AC.
Lời giải:
S.ABC là hình chóp tam giác đều
⇒ ΔABC đều và H là tâm cùa ΔABC.
+ Ta có: AH ⊥ BC
Mà AH là hình chiếu của SA trên (ABC)
⇒ BC ⊥ SA ( định lí ba đường vuông góc)
+ Lại có : AC ⊥ BH.
BH là hình chiếu của SB trên (ABC)
⇒ AC ⊥ SB ( định lí ba đường vuông góc)
Bài 10 (trang 114 SGK Hình học 11): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.
a) Tính độ dài đoạn SO.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) vuông góc với nhau.
c) Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD).
Lời giải:
Bài 11 (trang 114 SGK Hình học 11): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và góc A bằng 60°, cạnh và SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
a) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc với SA tại K. Hãy tính độ dài IK.
c) Chứng minh và từ đó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SAD).
Lời giải:
a) SC ⊥ (ABCD) => SC ⊥ BD (1)
ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD ⊥ (SAC).
Mà BD ⊂ (SBD) => (SBD) ⊥ (SAC).
b) Xét tam giác ABD có AB = AD và góc A = 60° nên là tam giác đều.
Do đó
SC ⊥ (ABCD) => SC ⊥ CA nên tam giác SAC vuông tại C.
Xét tam giác vuông SAC có:
