Giải Toán 11 Chương 4 Bài 4: Cấp số nhân

 Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 4 trang 98: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo sở thích. Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên 64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô cuối cùng.

Hãy cho biết số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu của bàn cờ.

Lời giải:

Số hạt thóc ở các ô từ ô thứ nhất đến thứ sáu: 1; 2; 4; 8; 16; 32

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 4 trang 99: Hãy đọc hoạt động 1 và cho biết ô thứ 11 có bao nhiêu hạt thóc?

Lời giải:

ố hạt thóc ở ô thứ 11 là:   

 hạt thóc.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 4 trang 101: Cho cấp số nhân (un) với u1 = -2 và q = $-\frac{1}{2}$

a) Viết năm số hạng đầu của nó.

b) So sánh $u_2^2$ với tích u1.u3 và $u_3^2$ với tích u2.u4.

Nêu nhận xét tổng quát từ kết quả trên.

Lời giải:

a) Ta có u1 = -2

u2 = u1.q = $-2.\frac{-1}{2}$ = 1

u3 = u2.q = $1.\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$

u4 = u3.q = $-\frac{1}{2}.\frac{-1}{2}=\frac{1}{4}$

u5 = u4.q = $\frac{1}{4}.\frac{-1}{2}=-\frac{1}{8}$

b) Ta có: $u_2^2$ = 12 = 1

u1.u3 = -2.$\frac{-1}{2}$ = 1

=> $u_2^2$ = u1.u3

Lại có: $u_3^2={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$

u2.u4 = $1.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

=> $u_3^2$ = u2.u4

Do đó ; $u_k^2$ = uk - 1.uk + 1; k ≥ 2.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 4 trang 101: Tính tổng số các hạt thóc ở 11 ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1

Lời giải:

Ta có:

u1 = 1

u2 = 2

u3 = 22

...

u11 = 210

Suy ra S = u1 + u2 +...+ u10 = 1 + 2 + 22 +...+ 210

Suy ra 2S = 2 + 22 +...+ 210 + 211

Suy ra 2S – S = (2 + 22 +...+ 210 + 211) − (1 + 2 + 22 +...+ 210)

Suy ra S = 211 – 1 = 2047

Bài 2 (trang 103 SGK Đại số 11): Cho cấp số nhân (un) với công bội q.

a) Biết u1 = 2, u6 = 486. Tìm q.

b) Biết q = $\frac{2}{3}$, u4 = $\frac{8}{21}$. Tìm u1.

c) Biết u1 = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy?

Lời giải:

a. Ta có: u6 = u1.q5

hay 486 = 2.q5

⇒ q5 = 243

⇒ q = 3.

b. u4 = u1.q3

Bài 3 (trang 103 SGK Đại số 11): Tìm các số hạng của cấp số nhân (un) có năm số hạng, biết:

a.u3 = 3 và u5 = 27

b.u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50

Lời giải:

a) Ta có:

$\{\begin{array}{c}{u}_3=3\\ u_5=27\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{u}_1.q^2=3\\ u_1.q^4=27\end{array}$=> q2 = 9 ⇔ q = ±3

Với q = 3 ta có: u1 = $\frac{1}{3}$. Ta có cấp số nhân: u1 = $\frac{1}{3}$, u2 = 1, u3 = 3, u4 = 9, u5 = 27

Với q = -3 ta có: u1 = $\frac{1}{3}$. Ta có cấp số nhân: u1 = $\frac{1}{3}$, u2 = -1, u3 = 3, u4 = -9, u5 = 27

b) Ta có:

$\{\begin{array}{c}{u}_4-u_2=25\\ u_3-u_1=50\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}{u}_1{q}^3-u_{1}q=25\\ u_1{q}^2-u_1=50\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}{u}_{1}q\left(q^2-1\right)=25\\ u_1\left(q^2-1\right)=50\end{array}$$\iff \{\begin{array}{c}q.50=25\\ u_1\left(q^2-1\right)=50\end{array}$

⇔ $\{\begin{array}{c}q=\frac{1}{2}\\ u_1\left(\frac{1}{4}-1\right)=50\end{array}$ ⇔ $\{\begin{array}{c}q=\frac{1}{2}\\ u_1=\frac{-200}{3}\end{array}$

Ta có năm số hạng của cấp số nhân: $\frac{-200}{3};\frac{-100}{3};\frac{-50}{3};\frac{-25}{3};\frac{-25}{6}$.

Bài 4 (trang 104 SGK Đại số 11): Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62.

Lời giải:

Gọi cấp số nhân (un) cần tìm có công bội q, số hạng đầu tiên u1.

Bài 5 (trang 104 SGK Đại số 11): Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là 1,4%. Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

Lời giải:

Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là N. Vì tỉ lệ tăng dân số là 1,4% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 1,4%.N

Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

Theo tỷ lệ tăng dân số 1,4% thì dân số hàng năm của tỉnh x là các số hạng của cấp số nhân với công bội q = 1,014

Và số hạng đầu u1 = 1,8 triệu

Theo công thức: un = u1.qn – 1

⇒ Dân số của tỉnh x sau 5 năm sau là:

u6 = 1,8.(1,014)5 ≈ 1.93 triệu (người)

⇒ Dân số sau 10 năm là:

u11 = 1,8.(1,014)10 ≈ 2.07 triệu (người).

Bài 6 (trang 104 SGK Đại số 11): Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C1 (hình bên). Từ hình vuông C2 lại tiếp tục như trên để được hình vuông C3… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được các dãy các hình vuông C1, C2, C3, …,Cn

Gọi an là độ dài cạnh của hình vuông Cn. Chứng minh dãy số (an) là một cấp số nhân.

Lời giải:

Cạnh của hình vuông C1 là: a1 = 4 (giả thiết)

Giả sử cạnh hình vuông thứ n là an.

Theo định lý Py-ta-go : Cạnh hình vuông thứ n + 1 là :