Giải Toán 11Chương 2 Bài 5: Xác suất của biến cố

TRẢ LỜI CÂU HỎI SGK.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 5 trang 66: Từ một hộp chứa bốn quả cầu ghi chữ a, hai quả cầu ghi chữ b và hai quả cầu ghi chữ c (hình 34), lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A: “Lấy được quả ghi chữ a”

B: “Lấy được quả ghi chữ b”

C: “Lấy được quả ghi chữ c”

Có nhận xét gì về khả năng xảy ra của các biến cố A, B và C? Hãy so sánh chúng với nhau.

Lời giải:

Khả năng xảy ra của biến cố A là: $\frac{4}{8}$ = 0,5

Khả năng xảy ra của biến cố B là: $\frac{2}{8}$ = 0,25

Khả năng xảy ra của biến cố C là: $\frac{2}{8}$ = 0,25

Khả năng xảy ra của biến cố A lớn hơn khả năng xảy ra của biến cố B và C

Vậy khả năng xảy ra của biến cố B bằng khả năng xảy ra của biến cố C

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 5 trang 69: Chứng minh các tính chất a), b) và c).

a) P(∅) = 0, P(Ω) = 1.

b) 0 ≤ P(A) ≤ 1, với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc, thì

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (công thức cộng xác suất).

Lời giải:

Theo định nghĩa xác suất của biến cố ta có:

Bài 1 (trang 74 SGK Đại số 11): Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần.

a) Hãy mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;

B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

c) Tính P(A), P(B).

Lời giải:

a) Phép thử T: “Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần”

$\Omega =\left\{(i,j)\mid i,j=1,2,3,4,5,6\right\}$

$\Omega$ = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}.

Số phần tử của không gian mẫu là n($\Omega$) = 36.

b) Xác định biến cố:

A: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn 10”;

A = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}

Suy ra n(A) = 6

B: “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất một lần”.

B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

Suy ra n(B) = 11

c) Xác suất của biến cố A:

P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$

Vậy xác suất của biến cố A là $\frac{1}{6}$.

Xác suất của biến cố B: P(B) = $\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{11}{36}$

Vậy xác suất của biến cố B là $\frac{11}{36}$.

Bài 2 (trang 74 SGK Đại số 11): Có 4 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 4. Rút ngẫu nhiên 3 tấm.

a. Hãy mô tả không gian mẫu.

b. Xác định các biến cố sau:

A: "Tổng các số trên 3 tấm bìa bằng 8"

B: "Các số trên 3 tấm bìa là ba số tự nhiên liên tiếp"

c.Tính P(A), P(B).

Lời giải:

a.Không gian mẫu gồm 4 phần tử:

Ω = {(1, 2, 3);(1,2,4);(2,3,4);(1,3,4)} ⇒ n(Ω)=4

b.Các biến cố:

+ A = {1, 3, 4} ⇒ n(A) = 1

Bài 4 (trang 74 SGK Đại số 11): Gieo một con súc sắc cân đối và đồng nhất. giả sử con súc sắc xuất hiện mặt b chấm. Xét phương trình x2 + bx + 2 = 0. Tính xác suất sao cho:

a. Phương trình có nghiệm

b. Phương trình vô nghiệm

c. Phương tring có nghiệm nguyên.

Lời giải:

Không gian mẫu:

$\Omega$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇔ n($\Omega$) = 6

Phương trình x2 + bx + 2 = 0 (*) có ∆ = b2 - 8

a) Để phương trình (*) có nghiệm thì ∆ = b2 - 8 ≥ 0 ⇔ |b| ≥ 2$\sqrt{2}$

Gọi A là biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình (*) có nghiệm”

Ta có: A = {3, 4, 5, 6} ⇔ n(A) = 4

Vậy xác suất xảy ra biến cố là P(A) = $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$

b) Gọi B là biến cố: “Con súc sắc xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình (*) vô nghiệm”

suy ra $B=\overline{A}=\{1,2\}$

⇔ P(B) = $P\left(\overline{A}\right)$ = 1 - P(A) = 1 - $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$

Vậy xác suất xảy ra biến cố là $\frac{1}{3}$.

c) Gọi C là biến cố: “ Xuất hiện mặt b chấm sao cho phương trình (*) có nghiệm nguyên”

Phương trình (*) có nghiệm ⇔ b ∈ {3, 4, 5, 6}

Thử các giá trị của b thấy:

Với b = 3 thì phương trình trở thành x2 + 3x + 2 = 0

⇔ $[\begin{array}{c}x=-1\\ x=-2\end{array}$(thỏa mãn)

Do đó: C = {3} suy ra n(C) = 1

Vậy xác suất xảy ra biến cố là P(C) = $\frac{n\left(C\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{1}{6}$

Bài 5 (trang 74 SGK Đại số 11): Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng một lúc bốn con. Tính xác suất sao cho:

a. Cả bốn con đều là át.

b. Được ít nhất là một con át.

c. Được hai con át và hai con K

Lời giải:

Không gian mẫu là kết quả của việc chọn ngẫu nhiên 4 con trong số 52 con

Bài 6 (trang 74 SGK Đại số 11): Hai bạn nam và hai bạn nữ được xếp ngồi ngẫu nhiên vào bốn ghế xếp thành hai dãy đối diện nhau. Tính xác suất sao cho:

a. Nam, nữ ngồi đối diện nhau.

b. Nữ ngồi đối diện nhau.

Lời giải:

a) Không gian mẫu là kết quả của việc sắp xếp bốn bạn vào 4 vị trí

⇒n( Ω) = 4! = 24.

Gọi A: “ Sắp xếp nam, nữ ngồi đối diện nhau”.

=> Biến cố đối A− : “ Nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ”

+ Ta tính P(A−):

Có 4 chỗ để cho bạn nữ thứ nhất chọn.

Có 1 cách chọn cho bạn nữ thứ hai ( đối diện với bạn nữ thứ nhất).

Sau khi hai bạn nữ đã được chọn ( ngồi đối diện nhau) thì còn lại 2 chỗ đối diện nhau để xếp 2 bạn nam và có 2! Cách xếp 2 bạn nam này.

Theo quy tắc nhân có: 4.1.2! = 8 cách xếp chỗ sao cho nam ngồi đối diện nam, nữ ngồi đối diện nữ

Bài 7(trang 75 SGK Đại số 11): Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 6 quả trắng, 4 quả đen. Hộp thứ hai chứa 4 quả trắng, 6 quả đen. Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu:

A là biến cố: "Qủa lấy từ hộp thứ nhất trắng"

B là biến cố: "Qủa lấy từ hộp thứ hai trắng"

a. Xem xét A và B có độc lập không?

b. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu.

c. Tính xác suất sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu.

Lời giải:

a) Phép thử T: “Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên một quả”

Có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 1 và có 10 cách lấy 1 quả cầu bất kì ở hộp 2 nên số phần tử của không gian mẫu là n($\Omega$) = 10.10 = 100

Biến cố A là: “Quả lấy từ hộp thứ nhất trắng”

Suy ra có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 10 cách lấy quả cầu ở hộp B

⇔ n(A) = 6.10 = 60

⇔ P(A) = $\frac{60}{100}$ = 0,6

Biến cố B là: “Quả lấy từ hộp thứ hai trắng”

Suy ra có 4 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp B và 10 cách lấy quả cầu ở hộp A

⇔ n(B) = 4.10 = 40

⇔ P(B) = $\frac{40}{100}$ = 0,4

Gọi AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

Suy ra có 6 cách lấy quả cầu màu trắng ở hộp A và 4 cách lấy quả cầu ở hộp B

⇔ n(AB) = 6.4 = 24

⇔ P(AB) = $\frac{24}{100}$ = 0,24

Ta có: 0,24 = 0,6.0,4 = P(A).P(B)

Khi đó: P(AB) = P(A).P(B)

Vậy A và B là hai biến độc lập với nhau.

b) Gọi C là biến cố: “Lấy được 2 quả cùng màu”

AB là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều trắng”

$\overline{AB}$ là biến cố: “Cả hai quả cầu lấy ra đều đen”

Suy ra  C = $AB\cup \overline{AB}$

Do P(A) = 0,6 => $P\left(\overline{A}\right)$ = 1 - 0,6 = 0,4

P(B) = 0,4 => $P\left(\overline{B}\right)$ = 1 - 0,4 = 0,6

Do AB và $\overline{AB}$ là hai biến cố xung khắc và A, B là hai biến độc lập nên:

P(C) = P(AB) + P$\left(\overline{AB}\right)$

= P(A).P(B) + $P\left(\overline{A}\right).P\left(\overline{B}\right)$

= 0,6.0,4 + 0,4.0,6 = 0,48

Vậy xác suất để lấy được cầu sao cho hai quả cầu lấy ra cùng màu là 0,48.

c) Gọi $\overline{C}$ là biến cố: “Lấy được 2 quả khác màu”

Suy ra $P\left(\overline{C}\right)$ = 1 - P(C) = 1 - 0,48 = 0,52

Vậy xác suất để lấy được cầu sao cho hai quả cầu lấy ra khác màu là 0,52.