toán lớp 11 chương 3 Bài 2: Dãy số

TRẢ LỜI CÂU HỎI SGK.

 Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 85: Cho hàm số f(n) = 

$\frac{1}{2n-1}$, n ∈ ℕ*. Tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5).

Lời giải:

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 86: Hãy nêu các phương pháp cho một hàm số và ví dụ minh họa

Lời giải:

- Hàm số cho bằng bảng

Ví dụ:

x	0	1	2	3	4
y	1	3	5	7	9

- Hàm số cho bằng công thức:

Ví dụ:  

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 86: Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của các dãy số sau:

a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;

b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1.

Lời giải:

a)Năm số hạng đầu: 

Số hạng tổng quát của dãy số:  

b)Năm số hạng đầu: 1;4;7;10;13

Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1(n ∈ N)

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 87: Viết mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi.

Lời giải:

Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 89: Cho các dãy số (un) và (vn) với un = 1 + $\frac{1}{n}$; vn = 5n - 1.

a) Tính un+1, vn+1.

b) Chứng minh un+1 < un và vn+1 > vn, với mọi n ∈ ℕ*.

Lời giải:

a) un + 1 = 1 + $\frac{1}{n+1}$

vn+1 = 5(n + 1) - 1 = 5n + 4

b)

+ Ta có: un + 1 - un = $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)-\left(1+\frac{1}{n}\right)$ = $\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}$ = $\frac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\frac{-1}{n\left(n+1\right)}<0$, ∀ n ∈ ℕ*

Suy ra un+1 – un < 0

Vậy un+1 < un , ∀ n ∈ ℕ*

+ Lại có: vn+1 – vn = (5n + 4) – (5n – 1) = 5 > 0

Suy ra vn+1 – vn > 0

Vậy vn+1 > vn , ∀ n ∈ ℕ*.

Trả lời câu hỏi Toán 11 Đại số Bài 2 trang 90: Chứng minh các bất đẳng thức $\frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}$ và $\frac{n^2+1}{2n}\ge 1$, ∀ n ∈ ℕ*.

Lời giải:

Ta có: $\frac{n}{n^2+1}-\frac{1}{2}=\frac{2n-\left(n^2+1\right)}{2\left(n^2+1\right)}$ = $\frac{-n^2+2n-1}{2\left(n^2+1\right)}$ = $\frac{-\left(n^2-2n+1\right)}{2\left(n^2+1\right)}$

= $\frac{-{(n-1)}^2}{2\left(n^2+1\right)}\le 0$; ∀ n ∈ ℕ*

(Vì 2(n2 + 1) > 0 và -(n - 1)2 ≤ 0, ∀ n ∈ ℕ*)

Vậy $\frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}$; ∀ n ∈ ℕ*

Ta lại có: $\frac{n^2+1}{2n}-1=\frac{n^2+1-2n}{2n}$ = $\frac{{(n-1)}^2}{2n}\ge 0$; ∀ n ∈ ℕ*

(Vì 2n > 0 và (n - 1)2 ≥ 0, ∀ n ∈ ℕ*)

Vậy $\frac{n^2+1}{2n}\ge 1$, ∀ n ∈ ℕ*

GIẢI BÀI TẬP SGK.

Bài 1 (trang 92 SGK Đại số 11): Viết năm số hạng đầu của dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức:

Lời giải:

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): Cho dãy số (un), biết u1 = - 1, un+ 1 = un + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4

Lời giải:

a. u1 = - 1, un + 1 = un + 3 với n > 1

u1 = - 1;

u2 = u1 + 3 = -1 + 3 = 2

u3 = u2 + 3 = 2 + 3 = 5

u4 = u3 + 3 = 5 + 3 = 8

u5 = u4 + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: un = 3n – 4 (1)

+ Khi n = 1 thì u1 = 3.1 - 4 = -1, vậy (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là uk = 3k – 4.

+ Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 tức là chứng minh: uk+1 = 3(k+1) - 4

Thật vậy,ta có : uk + 1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = 3(k + 1) – 4.

⇒ (1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với ∀ n ∈ N*.

Bài 3 (trang 92 SGK Đại số 11): Dãy số (un) cho biết:

u1 = 3, un + 1 = $\sqrt{1+u_n^2}$, n ≥ 1.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số

b) Ta có:

u1 = 3 = $\sqrt{9}=\sqrt{1+8}$

u2 = $\sqrt{10}=\sqrt{2+8}$

u3 = $\sqrt{11}=\sqrt{3+8}$

u4 = $\sqrt{12}=\sqrt{4+8}$

u5 = $\sqrt{13}=\sqrt{5+8}$

Từ trên ta dự đoán un = $\sqrt{n+8}$, với n ∈ ℕ* (1)

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có uk = $\sqrt{k+8}$ với k ≥ 1, ta cần chứng minh uk + 1 = $\sqrt{(k+1)+8}$

Theo công thức dãy số, ta có: uk + 1 = $\sqrt{1+u_k^2}=\sqrt{1+{\left(\sqrt{k+8}\right)}^2}$ = $\sqrt{1+k+8}$ = $\sqrt{(k+1)+8}$

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

Vậy công thức (1) được chứng minh.

Bài 4 (trang 92 SGK Đại số 11): Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un), biết:

A

Bài 5 (trang 92 SGK Đại số 11): Trong các dãy số (un) sau, dãy nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

Lời giải:

a. un = 2n2 – 1

+ Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 và n2 ≥ 1

⇒ un = 2n2 – 1 ≥ 2.12 – 1 = 1.

⇒ un ≥ 1

⇒ dãy (un) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

+ (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = 2n2 – 1 ≤ M ∀n ∈N*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.